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第四章《圆与方程》复习测试题（二） 三、解答题 11.已知  为圆 上任意一点，点 的坐标为(-2，3).⑴求  的最大值和最小值；⑵若P(  )在圆 上，求线段 的长及直线的斜率.考查目的：考查圆的方程的互化，直线的斜率，点和圆、直线和圆的位置关系及其运用. 答案：⑴  ， ；⑵ ， .解析：⑴圆 的方程可化为 ，∴圆心的坐标为(2，7)，半径 ，∴ ，∴ ， .⑵∵点P( )在圆上，∴ ，解得 ，∴点P的坐标为(4，5)，∴ ， .12.设圆 上的点A(2，3)关于直线 的对称点仍在圆上，且圆与直线 相交的弦长为 ，求圆的方程.考查目的：考查圆的方程及其性质，直线与圆的位置关系. 答案：圆的方程为  或 .解析：设圆 的方程为 .∵圆上的点A(2，3)关于直线的对称点仍在圆上，∴圆心在上，∴ ①.∵圆 被直线截得的弦长为，∴ ②.由点A(2，3)在圆 上，得 ③.联立①②③，解得  或 ∴圆 的方程为或.13.已知圆C：  内有一点P(2，2)，过点P作直线 交圆C于A、B两点.⑴当直线 经过圆心C时，求直线的方程；⑵当弦AB被点P平分时，写出直线 的方程；⑶当直线 的倾斜角为 时，求弦AB的长.考查目的：考查直线与圆的位置关系，以及直线方程的求法. 答案：⑴  ；⑵ ；⑶ .解析：⑴已知圆C： 的圆心为C(1，0).∵直线经过点P、C，∴直线的斜率为2，直线的方程为 ，即.⑵当弦AB被点P平分时，直线 ⊥PC，∴直线的方程为 ，即.⑶当直线 的倾斜角为时，斜率为1，直线的方程为 ，即 .又∵圆心C(1，0)到直线：的距离为 ，圆C的半径为3，∴弦AB的长为 .14.已知圆P：  与以原点为圆心的圆Q关于直线 对称.⑴求  的值；⑵若两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数. 考查目的：考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系及其综合应用. 答案：⑴  ；⑵ .解析：⑴圆P： 的方程可写成 .∵圆P： 和以原点为圆心的圆Q关于直线对称，∴直线 是以两圆圆心P、Q为端点的线段的垂直平分线，∴  ，解得 .∵点(0，0)与(-4，2)的中点(-2，1)在直线 上，∴ ，解得 .⑵圆心P(-4，2)到  的距离为 ，又∵圆P的半径为  ，∴ ，由 得.15.(2008江苏)设平面直角坐标系  中，设二次函数 的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：⑴求实数  的取值范围；⑵求圆C的方程； ⑶问圆C是否经过某定点(其坐标与 无关)？请证明你的结论.考查目的：考查二次函数图像和性质、圆的方程的求法. 答案：⑴  且 ；⑵ ；⑶圆C必过定点(0，1)，(-2，1).解析：⑴∵圆C经过二次函数 图象与坐标轴的三个交点，∴.令 ，得抛物线与 轴的交点是(0，).令 ，得 ，此时 ，解得.∴实数的取值范围是且.⑵设所求圆的一般方程为  .令 ，得 ，这与是同一个方程，∴ ， .令，得 ，此方程有一个根为，代入得 .∴圆C的方程为.⑶圆C过定点，证明如下：假设圆C经过定点  .将该点坐标代入圆C的方程，并变形得 ①.①式对所有满足且的实数都成立，必须 且 ，解得 或 .经检验知，点(0，1)，(-2，1)均在圆C上，∴圆C经过定点.(责任编辑：admin) |