|
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题（二） 三、解答题 11.(2012上海理改编)如图，在四棱锥  中，底面 是矩形， 是四棱锥的高， 是 的中点，已知 ， ， ，求：⑴四棱锥 的体积；⑵异面直线  与 所成的角的大小. 考查目的：考查异面直线所成角的概念及其求法. 答案：⑴  ，⑵ .解析：⑴根据题意四棱锥 的体积 .⑵取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.连结AC.在直角△AEF中， ，∴ .在△AEF中， ， ，AE=2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=，∴异面直线BC与AE所成的角大小为.12.(2011湖南文)如图，在圆锥PO中，已知  ，⊙O的直径AB=2，点C在 上，且 ，D为AC的中点. ⑴证明：AC  平面POD；⑵求直线OC和平面PAC所成角的正弦值. 考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角的计算，以及空间想象能力. 答案：⑴略，⑵  . 解析：⑴∵OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O，  底面⊙O，∴AC⊥OD.PO是平面POD内的两条相交直线，∴AC⊥平面POD.⑵由⑴知，AC⊥平面POD.又∵  ，∴平面POD⊥平面PAC.在平面POD中，过O作OH⊥PD于点H，则OH⊥平面PAC.连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，∴∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角.在 中， ；在 中， .13.(2010陕西文)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点. ⑴证明：EF∥平面PAD； ⑵求三棱锥E—ABC的体积V.  考查目的：考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积计算. 答案：⑴略；⑵  .解析：⑴在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又∵BC∥AD，∴EF∥AD，∵AD  平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.⑵连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则BG⊥平面ABCD，且  .在△PAB中，AD=AB， ，BP=2，∴ ， .∴ ，∴ . 14.(2010四川理)已知正方体  的棱长为1，点M是棱 的中点，点O是对角线 的中点.⑴求证：OM为异面直线 和的公垂线；⑵求二面角  的正切值. 考查目的：考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，空间想象能力和逻辑推理能力. 答案：⑴略；⑵  .解析：⑴连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK.∵M是棱 的中点，点O是的中点，∴ ，∴  .由 ⊥AK，得MO⊥.∵AK⊥BD，AK⊥ ，∴AK⊥平面 ，∴AK⊥，∴MO⊥.又∵OM与异面直线和都相交，∴OM为异面直线 和的公垂线.⑵取 中点N，连结MN，则MN⊥平面 .过点N作NH⊥ 于H，连结MH，则由三垂线定理得⊥MH，从而，∠MHN为二面角的平面角.MN=1， .在Rt△MNH中， ，∴二面角 的正切值大小为. 15.(2012湖南理)如图，在四棱锥 中，⊥平面， ， ， ， ，是 的中点.  ⑴证明：CD⊥平面PAE； ⑵若直线  与平面 成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积.考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线和平面所成角的运用，体积计算以及综合运用立体几何知识解决问题的能力. 答案：⑴略；⑵  .解析：⑴连接  ，由 ，， ，得 .又∵，Ｅ是的中点，∴ .∵ ，∴ .而 是平面内的两条相交直线，∴⊥平面. ⑵过点  作 ，分别与 相交于 ，连接 .由⑴⊥平面知， ⊥平面，∴ 为直线与平面所成的角，且 .由 知， 为直线与平面所成的角.， ， .由题意知， .∵ ，∴ .由知，AD∥BC. 又∵BG∥CD，∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴.在 中， ，∴ ，于是 .又∵梯形的面积为 ，∴四棱锥的体积为 .(责任编辑：admin) |