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函数综合试题 山东省苍山县第一中学 王献新 一：选择题 1．已知  ，则 则A等于 （ ）A．15 B．  C． D．2252．若0＜a＜1，且函数  ，则下列各式中成立的是（ ）A．  B． C．  D． 3．已知  则 的值等于( )A．0 B．  C． D．94．若  ，则（ ） A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 5．已知实数a、b满足等式  ，下列五个关系式： ① 0<a<b<1；② 0<b<a<1； ③ a=b；④ 1<a<b；⑤ l<b<a．其中不可能成立的关系式有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若0＜a＜1，且函数 ，则下列各式中成立的是（ ）A． B．C． D．7．已知：  的不等实根一共有（ ）A、1个 B、2 个 C、3 个 D、4个 8．在计算机的算法语言中有一种函数  叫做取整函数（也称高斯函数），它表示 的整数部分，即[]是不超过的最大整数．例如： ．设函数 ，则函数 的值域为 （ ）A.  B. C.  D.  9．曲线  在原点处的切线方程为A.  B. C. D. 10.设函数  有（ ）A．分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内的三个根 B.四个实根  C.分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）内的四个根 D.分别位于区间（0，1）（1，2），（2，3），内的三个根 11．函数  的导数是（ ）A．  B. C. D.  12．与定积分  相等的是（ ）A．  B. C.  - D.  + 二：填空题 13．由曲线  所围成的图形面积是 . 14．一辆汽车在某段路程中的行驶速度  与时间 的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为_________km，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km，那么在 时，汽车里程表读数 与时间的函数解析式为__________。 15. 函数f(x)=x3－3x2＋6x－7的图象是中心对称图形, 其对称中心的坐标为_________ 。 16．给出下列四个命题： ①函数  （ 且 ）与函数 （且）的定义域相同；②函数  与 的值域相同；③函数  与 都是奇函数；④函数  与 在区间[0，＋ ）上都是增函数。其中正确命题的序号是_____________。（把你认为正确的命题序号都填上） 三：解答题 17．（12分）设f (x)＝lg(ax2－2x＋a), (1) 如果f (x)的定义域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围； (2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围。 18．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=  (0<x≤120).已知甲、乙两地相距100千米。（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 19.（12分）设  , 点P 是函数 的图象的一个公共点, 两函数的图象在点P处有相同的切线.(1) 用  表示a, b, c; (2) 若函数  在 上单调递减，求的取值范围.20．（12分）设函数  , 其中 , 是 的导函数.(1)若  ,求函数的解析式;(2)若  ,函数的两个极值点为 满足 . 设 , 试求实数 的取值范围.21．（14分）已知函数  ， ，且有极值．（1）求实数  的取值范围；（2）求函数 的值域；（3）函数  ，证明： ， ，使得 成立．22．（12分）设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使得f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法． （1）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x*，1）为含峰区间； （2）对给定的r（0＜r＜0.5＝，证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r； （3）选取x1，x2∈（0，1），x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差） 函数综合参考答案 一：选择题BDCB，BDDB，DAAC 二：填空题13．e－2 14．220；  15．(1,－3) 16．①③三：解答题 17．解：(1) ∵f (x)的定义域是(－∞, ＋∞), ∴ 当x∈(－∞, ＋∞)时,都有ax2－2x＋a>0, 即满足条件a>0, 且△<0, 4－4a2<0, ∴a>1.（6分） (2) ∵f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，即当x在定义域内取值时，可以使y∈(－∞, ＋∞). 要求ax2－2x＋a可以取到大于零的一切值，∴a>0且△≥0 (4－4a≥0)或a＝0, 解得0≤a≤1.……12分 18．解：（I）当  时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，要耗没  （升）。……5分答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。……6分 （II）当速度为 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 升，依题意得  …………8分 令  得 当  时， 是减函数；当  时， 是增函数。 当 时，取到极小值 因为 在 上只有一个极值，所以它是最小值。………………………………11分答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。（12分） 19．解: (1) 因为函数  ,  的图象都过点, 所以 , 即  .因为 所以 .  ………………3分又因为 , 在点处有相同的切线, 所以 而  ……………………………………………5分将 代入上式得 因此 故, , ………………6分(2) 解法一:  .……8当  时, 函数单调递减.由  , 若 ; 若 由题意, 函数 在上单调递减, 则 所以 又当  时, 函数在上单调递减.所以 的取值范围为 ……………………………………………………12解法二： 因为函数 在上单调递减, 且 是上的抛物线, 所以  即 解得 所以 的取值范围为 ………………………………………………………12分20．解:  ………………………………………………1分(Ⅰ)据题意,  …………………………………2分由  知, 是二次函数 图象的对称轴又  , 故 是方程 的两根..............4分设  ,将 代入得  比较系数得: 故  为所求.………………………………6分(其它解法酌情记分) 另解： ，…………………….1分据题意得  ………3分 解得 …………………5分故 为所求.………………………………6分(Ⅱ)据题意,  ,则  又  是方程的两根,且 则   ………………………………………8分则点  的可行区域如图………………10分  的几何意义为点P与点 的距离的平方.观察图形知点，A到直线 的距离的平方 为 的最小值  故 的取值范围是 …………………………………………………………12分21．解：（Ⅰ）由 求导可得 ……………………………………………………………………………… 1分令  ……………………………………………………………… 2分可得  ∵ ∴ ∴ 又因为
所以， 有极值 …………………………………… ……………………………………3分所以，实数 的取值范围为 ．……………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 的极大值为 ………………………………5分又∵  ， …………………………………………………………6分由  ，解得 又∵  ∴当  时，函数的值域为 ………………… 7分当  时，函数的值域为 ． …………………………8分（Ⅲ）证明：由 求导可得 令  ，解得 令  ，解得 或 ……………………………… 10分又∵  ∴  在 上为单调递增函数……………………………………………………12分∵  ， ∴ 在的值域为 ∵   ，  ， ∴  ， ∴ ，，使得成立． …………………………14分22（1）证明：设x*为f（x） 的峰点，则由单峰函数定义可知，f（x）在[0， x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减． 当f（x1）≥f（x2）时，假设x*  （0，x2），则x1<x2<x*，从而f（x*）≥f（x2） >f（x1），这与f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰区间.当f（x1）≤f（x2）时，假设x* （ x2，1），则x*<≤x1<x2，从而f（x*）≥f（x1）>f（x2），这与f（x1）≤f（x2）矛盾，所以x*∈（x1，1），即（x1，1）是含峰区间.……4分 （2）证明：由（I）的结论可知： 当f（x1）≥f（x2）时，含峰区间的长度为l1＝x2；当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1－x1； 对于上述两种情况，由题意得  ①由①得1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r. 又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r， ② 将②代入①得x1≤0.5－r， x2≥0.5－r， ③ 由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r． 所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．…………………………………………8分 （3）解：对先选择的x1；x2，x1<x2，由（II）可知x1＋x2＝l， ④ 在第一次确定的含峰区间为（0， x2）的情况下，x3的取值应满足x3＋x1＝x2， ⑤ 由④与⑤可得  ，当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．由条件x1－x3≥0.02，得x1－（1－2x1）≥0.02，从而x1≥0.34． 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．…12分 (责任编辑：admin) |
