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2.4幂函数 重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小． 考纲要求：①了解幂函数的概念； ②结合函数  的图像，了解他们的变化情况．经典例题：比较下列各组数的大小： （1）1.5  ，1.7，1； （2）（－ ） ，（－ ） ，1.1 ；（3）3.8 ，3.9 ，（－1.8） ； （4）31.4，51.5.当堂练习： 1．函数y＝（x2－2x）  的定义域是（ ）A．{x|x≠0或x≠2} B．（－∞，0）  （2，＋∞） C．（－∞，0）［2，＋∞ ） D．（0，2）3．函数y＝  的单调递减区间为（ ） A．（－∞，1） B．（－∞，0） C．［0，＋∞ ］ D．（－∞，＋∞）3．如图，曲线c1, c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象， 那么一定有（ ） A．n<m<0 B．m<n<0 C．m>n>0 D．n>m>0 4．下列命题中正确的是（ ） A．当  时，函数 的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C．幂函数的 图象不可能在第四象限内 D．若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数5．下列命题正确的是（ ） 幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 图象不经过（—1，1）为点的幂函数一定不是偶函数 如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同 如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函数 6．用“<”或”>”连结下列各式：    ，   ．7．函数y＝  在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_______ _．8．幂函数的图象过点(2,  ), 则它的单调递增区间是 ． 9．设x∈(0, 1)，幂函数y＝  的图象在y＝x的上方，则a的取值范围是 ． 10．函数y＝  在区间上 是减函数．11．试比较  的大小．12．讨论函数y＝x  的定义域、值域、奇偶性、单调性。13．一个幂函数y＝f (x)的图象过点(3,  ),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8, －2), (1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)< g(x)的解集. 14．已知函数y＝  ．（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间． 参考答案： 经典例题：解：（1）∵所给的三个数之中1.5 和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y=x中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1．（2）（－ ）=（），（－）=（ ），1.1=［（1.1）2］=1.21．∵幂函数y=x 在（0，+∞）上单调递减，且＜＜1.21，∴（ ）＞（）＞1.21，即（－）＞（－）＞1.1．（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8 ＜1，3.9＞1，（－1.8）＜0，从而可以比较出它们的大小．（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5． 当堂练习： 1.B ; 2. B ; 3. B ;4. C ;5. B ; 6.  ， ;7.  ;8. (－∞, 0);9. (－∞, 1);10. （0，＋∞）; 11．因  ， ，所以 12． 函数y＝x 的定义域是R；值域是(0, ＋∞)；奇偶性是偶函数； 在(－∞, 0)上递减；在[0, ＋∞ )上递增． 13．（1）设f (x)＝xa, 将x＝3, y＝  代入，得a＝ ,  ；设g(x)＝xb, 将x＝－8, y＝－2代入，得b＝  , ；（2）f (x)既不是奇函数，也不是偶函数；g(x)是奇函数；（3） (0,1)． 14．这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝  ，（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t＝16－（x－1）2  ［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数． （3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1， ∴x ［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．又∵函数y＝  在t［0，16］时，y随t的增大而增大，∴函数y＝  的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．(责任编辑：admin) |