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40．（上海•理•16题）体积为1的直三棱柱  中， ， ，求直线 与平面 所成角。【解答】法一： 由题意，可得体积  ，  ．连接 ．  ，  平面 ， 是直线 与平面所成的角． ， ，则  ＝ ．即直线与平面所成角的大小为．法二： 由题意，可得 体积  ， ，如图，建立空间直角坐标系． 得点  ， ， ． 则 ， 平面 的法向量为 ．设直线 与平面所成的角为 ， 与 的夹角为 ， 则  ，  ，即直线 与平面所成角的大小为 ．41．（四川•理•19题）如图，四边形  是直角梯形，∠ ＝90°， ∥ ，＝1，＝2，又 ＝1，∠ ＝120°， ⊥ ，直线 与直线所成的角为60°.（Ⅰ）求证：平面  ⊥平面 ；（Ⅱ）求二面角  的大小；（Ⅲ）求三棱锥  的体积； 【解答】本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。 解法一： （Ⅰ）∵  ∴  ，又∵  ∴  （Ⅱ）取  的中点 ，则 ，连结 ，∵  ，∴ ，从而 作  ，交 的延长线于 ，连结 ，则由三垂线定理知， ，从而  为二面角 的平面角直线  与直线所成的角为 ∴  在  中，由余弦定理得 在  中， 在  中， 在  中， 故二面角 的平面角大小为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，  为正方形∴  解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）在平面  内，过 作 ，建立空间直角坐标系 （如图） 由题意有  ，设 ，则  由直线 与直线所成的解为，得 ，即 ，解得 ∴  ，设平面 的一个法向量为 ，则  ，取 ，得 平面 的法向量取为 设  与 所成的角为，则 显然，二面角 的平面角为锐角，故二面角 的平面角大小为 （Ⅲ）取平面  的法向量取为 ，则点A到平面的距离 ∵  ，∴ 42．（天津•理•19题）如图，在四棱锥  中， 底面 ， ， ， 是的中点．（Ⅰ）证明  ；（Ⅱ）证明  平面 ；（Ⅲ）求二面角  的大小；  【解答】本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：在四棱锥 中，因底面， 平面，故 ． ， 平面 ．而  平面， ．（Ⅱ）证明：由 ， ，可得 ． 是的中点， ．由（Ⅰ）知，  ，且 ，所以 平面 ．而  平面， ． 底面 在底面内的射影是 ， ， ．又  ，综上得平面．（Ⅲ）解法一：过点  作 ，垂足为 ，连结 ．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则 ．  因此  是二面角的平面角．由已知，得  ．设 ，可得  ．在  中， ， ，则  ．在  中， ．所以二面角 的大小是 ．解法二：由题设 底面， 平面 ，则平面 平面 ，交线为．过点 作 ，垂足为 ，故 平面．过点作 ，垂足为，连结 ，故 ．因此 是二面角的平面角． 由已知，可得 ，设，可得  ． ， ．于是，  ．在  中， ．所以二面角 的大小是 ．43．（浙江•理•19题）在如图所示的几何体中，  平面ABC， 平面ABC， ， ，M是AB的中点。（Ⅰ）求证：  ；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角；  【解答】分析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力． 方法一： （I）证明：因为  ，是的中点，所以  ．又 平面，所以 ．（II）解：过点 作 平面 ，垂足是，连结 交延长交 于点，连结 ， ．   是直线和平面所成的角．因为 平面，所以  ，又因为  平面 ，所以  ，则  平面 ，因此 ．设  ， ，在直角梯形  中， ，是的中点，所以  ， ， ，得  是直角三角形，其中 ，所以  ．在  中， ，所以  ，故 与平面所成的角是 ．方法二： 如图，以点 为坐标原点，以 ， 分别为 轴和 轴，过点作与平面垂直的直线为 轴，建立直角坐标系，设，则 ， ， ． ， ．（I）证明：因为  ， ，所以  ，故  ．（II）解：设向量  与平面垂直，则 ， ，  即  ， ．因为  ， ，所以  ， ，即  ， ，直线 与平面所成的角是 与 夹角的余角，所以  ，因此直线 与平面所成的角是．(责任编辑：admin) |