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二、填空题 19．（全国Ⅰ•理•16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为  。【解答】一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=  ，∴ 斜边EF的长为2。 20．（全国Ⅱ•理•15题）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为  cm2。【解答】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=  ，解得h= ，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.21．（安徽•理•15题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。 ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。 【解答】在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC1A1；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。 22．（江苏•理•14题）正三棱锥  高为2，侧棱与底面所成角为 ，则点 到侧面 的距离是 ．【解答】设P在 底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a,则  设侧棱为b则 斜高 。由面积法求 到侧面的距离  23．（辽宁•理•15题）若一个底面边长为  ，棱长为 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．【解答】根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由  得R=，球体积为 24．（上海•理•10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面  与两直线 ，又知在 内的射影为 ，在 内的射影为 。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 平行，相交 。【解答】作图易得“能成为 是异面直线的充分条件”的是“ ，并且 与 相交”或“ ，并且 与 相交”。25．（四川•理•14题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是  ． 【解答】  ，点 到平面 的距离为，∴ ， ．26．（天津•理•12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为  ．【解答】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即  ，由 27．（浙江•理•16题）已知点O在二面角  的棱上，点P在内，且 。若对于内异于O的任意一点Q，都有 ，则二面角的大小是____ ____。【解答】设直线OP与平面 所成的角为 ,由最小角原理及 恒成立知,只有  作 于H, 则 面,故为 三、解答题 27．（全国Ⅰ•理•19题）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2 ，SA＝SB＝。 (Ⅰ)证明：SA⊥BC； (Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小； 【解答】解法一： （Ⅰ）作  ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得 底面．因为  ，所以 ，又  ，故 为等腰直角三角形， ，由三垂线定理，得  ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，依题设 ，故  ，由 ， ， ，得 ， ． 的面积 ．连结  ，得 的面积   设  到平面 的距离为 ，由于 ，得 ，解得  ．设  与平面所成角为，则 ．所以，直线 与平面 所成的我为 ．解法二： （Ⅰ）作 ，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．因为 ，所以．又 ，为等腰直角三角形， ．如图，以为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 ， ， ， ， ， ， ， ，所以．  （Ⅱ）取  中点 ， ，连结  ，取中点 ，连结 ， ． ， ， ． ， ，与平面内两条相交直线，垂直．所以  平面， 与 的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余． ， ． ， ，所以，直线 与平面所成的角为． (责任编辑：admin) |