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28．（全国Ⅱ•理•19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。 (Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小；  【解答】解法一： （1）作  交 于点 ，则为的中点．连结  ，又 ，故  为平行四边形． ，又 平面 平面 ．所以  平面．（2）不妨设  ，则 为等腰直角三角形．取  中点 ，连结 ，则 ．又  平面，所以 ，而 ，所以  面 ．取  中点 ，连结 ，则 ．连结  ，则 ．故  为二面角 的平面角 ．所以二面角 的大小为 ．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系  ． 设  ，则  ， ．取 的中点 ，则 ． 平面平面，所以 平面．（2）不妨设  ，则 ．中点 又  ， ，所以向量  和 的夹角等于二面角的平面角． ．所以二面角 的大小为 ．29．（北京•理•16题）如图，在  中， ，斜边 ． 可以通过以直线 为轴旋转得到，且二面角 是直二面角．动点 的斜边 上． （I）求证：平面  平面 ；（II）当 为的中点时，求异面直线与 所成角的大小；（III）求 与平面所成角的最大值．【解答】解法一： （I）由题意，  ， ， 是二面角是直二面角，又  二面角是直二面角， ，又 ， 平面，又  平面 ． 平面平面．（II）作  ，垂足为 ，连结 （如图），则 ， 是异面直线与所成的角．在  中， ， ， ．又  ．在 中， ．异面直线与所成角的大小为 ．（III）由（I）知，  平面， 是与平面所成的角，且 ．当  最小时， 最大，这时，  ，垂足为， ， ， 与平面所成角的最大值为 ．解法二： （I）同解法一． （II）建立空间直角坐标系  ，如图，则 ， ， ， ，   ， ，  ．异面直线与所成角的大小为 ．（III）同解法一 30．（安徽•理•17题）如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2。 （Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面； （Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1； （Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值圾示）；  【解答】本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）： 以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系如图，  则有  ．（Ⅰ）证明：  ． ． 与 平行， 与 平行，于是  与 共面， 与 共面．（Ⅱ）证明：  ， ， ， ． 与 是平面 内的两条相交直线． 平面．又平面  过． 平面 平面．（Ⅲ）解：  ．设  为平面 的法向量， ， ．于是  ，取 ，则 ， ．设  为平面 的法向量， ， ．于是  ，取 ，则 ， ． ．二面角 的大小为 ．解法2（综合法）： （Ⅰ）证明：  平面 ， 平面 ． ， ，平面 平面．  于是  ， ．设  分别为 的中点，连结 ，有  ． ，于是  ．由  ，得 ，故  ，与共面．过点  作 平面于点 ，则  ，连结 ，于是  ， ， ． ， ． ， ．所以点 在上，故 与共面．（Ⅱ）证明： 平面， ，又  （正方形的对角线互相垂直）， 与是平面内的两条相交直线，平面．又平面 过，平面平面．（Ⅲ）解：  直线是直线 在平面上的射影， ，根据三垂线定理，有  ．过点  在平面 内作 于，连结 ，则  平面 ，于是  ，所以，  是二面角 的一个平面角．根据勾股定理，有  ． ，有 ， ， ， ． ， ，二面角 的大小为． (责任编辑：admin) |