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湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点  到两焦点 的距离分别为 ，焦点 的面积为 ，则在椭圆 中， ① ＝ ，且当 即 为短轴端点时，最大为 ＝ ；② ，当 即为短轴端点时， 的最大值为bc；对于双曲线 的焦点三角形有：① ；② 。比如：①短轴长为  ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过作直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为________（答：6）；②设P是等轴双曲线  右支上一点，F1、F2是左右焦点，若 ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答： ）； ③双曲线的虚轴长为4，离心率e＝  ，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且 是 与 等差中项，则＝__________（答： ）；④已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且  ， ．求该双曲线的标准方程（答： ）；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A  ，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。10、弦长公式：若直线  与圆锥曲线相交于两点A、B，且 分别为A、B的横坐标，则 ＝ ，若 分别为A、B的纵坐标，则＝ ，若弦AB所在直线方程设为 ，则＝ 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。比如：①过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）； ②过抛物线  焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－ ；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线 中，以为中点的弦所在直线的斜率k= 。比如：①如果椭圆  弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答： ）；②已知直线y=－x+1与椭圆  相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答： ）；③试确定m的取值范围，使得椭圆  上有不同的两点关于直线 对称（答： ）； 特别提醒：因为  是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！12．你了解下列结论吗？ （1）双曲线  的渐近线方程为 ；（2）以  为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为 为参数， ≠0）。如与双曲线  有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为_______（答： ）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为  ；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为  ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线 的焦点弦为AB， ，则① ；② （7）若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 13．动点轨迹方程： （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立  之间的关系 ；如已知动点P到定点F(1,0)和直线  的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答： 或 ）；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）  ，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答： ）；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如(1)由动点P向圆  作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答： ）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答： ）；(3) 一动圆与两圆⊙M： 和⊙N： 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；④代入转移法：动点  依赖于另一动点 的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示 ，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线  上任一点，定点为 ,点M分 所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答： ）；⑤参数法：当动点 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点 ，使 ，求点的轨迹。（答： ）；（2）若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是____（答： ）；（3）过抛物线 的焦点F作直线 交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答： ）；注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 如已知椭圆  的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足 点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （1）设 为点P的横坐标，证明 ；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S= 若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2） ；（3）当 时不存在；当 时存在，此时∠F1MF2＝2） ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量  或 ；（2）给出  与 相交,等于已知过的中点;（3）给出  ,等于已知是 的中点;（4）给出  ,等于已知 与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：① （11）在 （12） 在 |
；②存在实数
；③若存在实数
,等于已知
三点共线.
，等于已知
的定比分点，
,等于已知
,即
是直角,给出
,等于已知
,等于已知
,等于已知
是
中，给出
，等于已知
，等于已知
中，给出
，等于已知
是
，等于已知
，等于已知
等于已知
通过
等于已知
,等于已知
是
边的中线;