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湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理 10．函数的单调性。 （1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间  内，若总有 ，则 为增函数；反之，若在区间内为增函数，则 ，请注意两者的区别所在。如已知函数  在区间 上是增函数，则 的取值范围是____(答： ）)；②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意   型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ，减区间为 。如（1）若函数  在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数的取值范围是______(答： ）)；（2）已知函数 在区间 上为增函数，则实数的取值范围_____（答： ）；（3）若函数 的值域为R，则实数的取值范围是______(答： 且 ）)；③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减。 如函数  的单调递增区间是________(答：（1,2）)。（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数  在区间 上为减函数，求的取值范围（答： ）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。 （3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）。 如已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，求实数 的取值范围。（答： ）11．常见的图象变换 ①函数   的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移个单位得到的。如设  的图像与的图像关于直线 对称， 的图像由 的图像向右平移1个单位得到，则为__________(答：  )②函数 ( 的图象是把函数的图象沿轴向右平移 个单位得到的。如（1）若  ，则函数的最小值为____(答：2)；（2）要得到 的图像，只需作 关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答： ；右)；（3）函数 的图象与轴的交点个数有____个(答：2)③函数 +的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；④函数 +的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；如将函数  的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线 对称,那么     (答：C)⑤函数  的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的 得到的。如（1）将函数  的图像上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答： )；（2）如若函数 是偶函数，则函数 的对称轴方程是_______(答： )。⑥函数  的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的。 12． 函数的对称性。 ①满足条件  的函数的图象关于直线 对称。如已知二次函数  满足条件 且方程 有等根，则＝_____(答： )； ②点  关于轴的对称点为 ；函数关于轴的对称曲线方程为 ；③点 关于轴的对称点为 ；函数关于轴的对称曲线方程为 ； ④点 关于原点的对称点为 ；函数关于原点的对称曲线方程为 ； ⑤点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线的对称曲线的方程为 。特别地，点关于直线的对称点为 ；曲线关于直线的对称曲线的方程为  ；点关于直线 的对称点为 ；曲线关于直线的对称曲线的方程为 。如己知函数  ,若 的图像是 ,它关于直线对称图像是 关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是___________（答： ）；⑥曲线 关于点的对称曲线的方程为 。如若函数  与 的图象关于点（-2，3）对称，则＝______（答： ）⑦形如  的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线  (由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点 。如已知函数图象  与 关于直线对称，且图象关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）⑧  的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到； 的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。如（1）作出函数  及 的图象；（2）若函数是定义在R上的奇函数，则函数 的图象关于____对称 （答：轴） 提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像  与 的对称性，需证两方面：①证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；②证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上。如（1）已知函数  。求证：函数的图像关于点 成中心对称图形；（2）设曲线C的方程是 ,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动 单位长度后得曲线。①写出曲线的方程（答： ）；②证明曲线C与关于点 对称。13．函数的周期性。 （1）类比“三角函数图像”得： ①若  图像有两条对称轴 ，则必是周期函数，且一周期为 ；②若 图像有两个对称中心 ，则是周期函数，且一周期为；③如果函数  的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数必是周期函数，且一周期为 ；如已知定义在  上的函数是以2为周期的奇函数，则方程 在 上至少有__________个实数根（答：5）（2）由周期函数的定义“函数 满足  ，则是周期为的周期函数”得：①函数 满足 ，则是周期为2的周期函数；②若  恒成立，则 ；③若  恒成立，则。如(1) 设 是 上的奇函数， ，当 时，，则 等于_____(答： )；(2)定义在 上的偶函数满足 ，且在 上是减函数，若 是锐角三角形的两个内角，则 的大小关系为_________(答： )；（3）已知是偶函数，且 =993，= 是奇函数，求 的值(答：993)；（4）设 是定义域为R的函数，且  ，又 ，则 = (答： )14．指数式、对数式：  ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，  。如（1）  的值为________(答：8)；（2） 的值为________(答： )15．指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 16．函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立  型。17．抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是： （1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ： ①正比例函数型：  --------------- ；②幂函数型：  -------------- ， ；③指数函数型：  ------------ ， ； ④对数函数型：  ----- ， ；⑤三角函数型：  -----  。如已知 是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 ____（答：0）（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究。 如（1）设函数  表示除以3的余数，则对任意的 ，都有 A、 B、 C、 D、（答：A）；（2）设是定义在实数集R上的函数，且满足 ，如果 ， ，求 （答：1）；（3）如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线 是函数图象的一条对称轴；（4）已知定义域为的函数满足 ，且当 时，单调递增。如果 ，且 ，则 的值的符号是____（答：负数）（3）利用一些方法（如赋值法（令 ＝0或1，求出 或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若  ，满足  ，则的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若，满足 ，则的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知是定义在 上的奇函数，当 时，的图像如图所示，那么不等式 的解集是_____________（答： ）；  （4）设 的定义域为 ，对任意 ，都有 ，且 时， ，又 ，①求证为减函数；②解不等式 。（答： ）．(责任编辑：admin) |