湖南省常德市安乡县第五中学 龚光勇收集整理
10.函数的单调性。 (1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用:定义法(取值――作差――变形――定号)、导数法(在区间 内,若总有 ,则 为增函数;反之,若 在区间 内为增函数,则 ,请注意两者的区别所在。 如已知函数 在区间 上是增函数,则 的取值范围是____(答: )); ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意 型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为 ,减区间为 。 如(1)若函数 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 的取值范围是______(答: ));(2)已知函数 在区间 上为增函数,则实数 的取值范围_____(答: );(3)若函数 的值域为R,则实数 的取值范围是______(答: 且 )); ③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减。 如函数 的单调递增区间是________(答:(1,2))。 (2)特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,如若函数 在区间 上为减函数,求 的取值范围(答: );二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示。 (3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数范围)。 如已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ,求实数 的取值范围。(答: ) 11.常见的图象变换 ①函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位得到的。 如设 的图像与 的图像关于直线 对称, 的图像由 的图像向右平移1个单位得到,则 为__________(答: ) ②函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位得到的。 如(1)若 ,则函数 的最小值为____(答:2);(2)要得到 的图像,只需作 关于_____轴对称的图像,再向____平移3个单位而得到(答: ;右);(3)函数 的图象与 轴的交点个数有____个(答:2) ③函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上平移 个单位得到的; ④函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向下平移 个单位得到的; 如将函数 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线 对称,那么 (答:C) ⑤函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。 如(1)将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),再将此图像沿 轴方向向左平移2个单位,所得图像对应的函数为_____(答: );(2)如若函数 是偶函数,则函数 的对称轴方程是_______(答: )。 ⑥函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的。 12. 函数的对称性。 ①满足条件 的函数的图象关于直线 对称。 如已知二次函数 满足条件 且方程 有等根,则 =_____(答: ); ②点 关于 轴的对称点为 ;函数 关于 轴的对称曲线方程为 ; ③点 关于 轴的对称点为 ;函数 关于 轴的对称曲线方程为 ; ④点 关于原点的对称点为 ;函数 关于原点的对称曲线方程为 ; ⑤点 关于直线 的对称点为 ;曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。特别地,点 关于直线 的对称点为 ;曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 ;点 关于直线 的对称点为 ;曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。 如己知函数 ,若 的图像是 ,它关于直线 对称图像是 关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是___________(答: ); ⑥曲线 关于点 的对称曲线的方程为 。 如若函数 与 的图象关于点(-2,3)对称,则 =______(答: ) ⑦形如 的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定),对称中心是点 。 如已知函数图象 与 关于直线 对称,且图象 关于点(2,-3)对称,则a的值为______(答:2) ⑧ 的图象先保留 原来在 轴上方的图象,作出 轴下方的图象关于 轴的对称图形,然后擦去 轴下方的图象得到; 的图象先保留 在 轴右方的图象,擦去 轴左方的图象,然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到。 如(1)作出函数 及 的图象;(2)若函数 是定义在R上的奇函数,则函数 的图象关于____对称 (答: 轴) 提醒:(1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化为求点的对称问题;(2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(3)证明图像 与 的对称性,需证两方面:①证明 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 上;②证明 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 上。 如(1)已知函数 。求证:函数 的图像关于点 成中心对称图形;(2)设曲线C的方程是 ,将C沿 轴, 轴正方向分别平行移动 单位长度后得曲线 。①写出曲线 的方程(答: );②证明曲线C与 关于点 对称。 13.函数的周期性。 (1)类比“三角函数图像”得: ①若 图像有两条对称轴 ,则 必是周期函数,且一周期为 ; ②若 图像有两个对称中心 ,则 是周期函数,且一周期为 ; ③如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ,则函数 必是周期函数,且一周期为 ; 如已知定义在 上的函数 是以2为周期的奇函数,则方程 在 上至少有__________个实数根(答:5) (2)由周期函数的定义“函数 满足 ,则 是周期为 的周期函数”得: ①函数 满足 ,则 是周期为2 的周期函数; ②若 恒成立,则 ; ③若 恒成立,则 。 如(1) 设 是 上的奇函数, ,当 时, ,则 等于_____(答: );(2)定义在 上的偶函数 满足 ,且在 上是减函数,若 是锐角三角形的两个内角,则 的大小关系为_________(答: );(3)已知 是偶函数,且 =993, = 是奇函数,求 的值(答:993);(4)设 是定义域为R的函数,且 ,又 ,则 = (答: ) 14.指数式、对数式: , , , , , , , , , , 。 如(1) 的值为________(答:8);(2) 的值为________(答: ) 15.指数、对数值的大小比较:(1)化同底后利用函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1);(4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。 16.函数的应用。(1)求解数学应用题的一般步骤:①审题――认真读题,确切理解题意,明确问题的实际背景,寻找各量之间的内存联系;②建模――通过抽象概括,将实际问题转化为相应的数学问题,别忘了注上符合实际意义的定义域;③解模――求解所得的数学问题;④回归――将所解得的数学结果,回归到实际问题中去。(2)常见的函数模型有:①建立一次函数或二次函数模型;②建立分段函数模型;③建立指数函数模型;④建立 型。 17.抽象函数:抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是: (1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: --------------- ; ②幂函数型: -------------- , ; ③指数函数型: ------------ , ; ④对数函数型: ----- , ; ⑤三角函数型: ----- 。 如已知 是定义在R上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为T,则 ____(答:0) (2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究。 如(1)设函数 表示 除以3的余数,则对任意的 ,都有 A、 B、 C、 D、 (答:A);(2)设 是定义在实数集R上的函数,且满足 ,如果 , ,求 (答:1);(3)如设 是定义在 上的奇函数,且 ,证明:直线 是函数 图象的一条对称轴;(4)已知定义域为 的函数 满足 ,且当 时, 单调递增。如果 ,且 ,则 的值的符号是____(答:负数) (3)利用一些方法(如赋值法(令 =0或1,求出 或 、令 或 等)、递推法、反证法等)进行逻辑探究。 如(1)若 , 满足 ,则 的奇偶性是______(答:奇函数);(2)若 , 满足 ,则 的奇偶性是______(答:偶函数);(3)已知 是定义在 上的奇函数,当 时, 的图像如图所示,那么不等式 的解集是_____________(答: );   (4)设 的定义域为 ,对任意 ,都有 ,且 时, ,又 ,①求证 为减函数;②解不等式 。(答: ).
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