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解决几何概型疑难杂症的四步曲

http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
    广东省中山市东升高中 高建彪  
    
    如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability),简称为几何概型.
    在几何概型中,事件A的概率计算公式为:
               .
    用几何概率公式计算概率时,关键是构造出随机事件所对应的几何图形,并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题,可以快捷的找到解决办法.
    例1 如图,以正方形ABCD的边长为直径作半圆,重叠部分为花瓣. 现在向该矩形区域内随机地投掷一飞镖,求飞镖落在花瓣内的概率.
    
    解:飞镖落在正方形区域内的机会是均等的,符合几何概型条件. 记飞镖落在花瓣内为事件A,设正方形边长为2r,则
                    .
    所以,飞镖落在花瓣内的概率为.
    点评:此题的关键是正确计算花瓣的面积. 这类题型中,试验全部结果的区域与构成事件A的区域,都直接由题中条件给出,从而易解.
    然而,有些几何概型的问题,既不容易分辩出属于几何概率模型,也难发现随机事件的构成区域,但仔细研究此类问题后,我们可以发现一些解题的规律.
    例2 两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去. 求两人能够会面的概率.
    解:设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.用表示每次试验的结果,则所有可能结果为:
              
    记两人能够会面为事件A,则事件A的可能结果为:
               .
    
    如图所示,试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内两条直线所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式,得到:
                  .
    所以,两人能够会面的概率为.
    点评:题目的意思简单明了,但如何转化为数学模型来求解却比较困难. 需要我们先从实际问题中分析得到存在的两个变量,如此题中两人到达的时间都是随机的,设为两个变量. 然后把这两个变量所满足的条件写成集合形式,并把所研究事件A的集合也分析得出. 把两个集合用平面区域表示,特别注意不等式所表示区域. 我们可以发现,要表示二元一次不等式的平面区域,按两步解决:(1)作出直线;(2)取一特殊点验证,直线的哪侧符合不等式,则哪侧就是所表示区域. 准确得到随机事件的构成区域后,根据几何概型的概率公式,易求得概率.
    根据以上的解法和分析,我们把此类疑难问题的解决总结为以下四步:
    (1)构设变量. 从问题情景中,发现哪两个量是随机的,从而构设为变量x、y.
    (2)集合表示. 用表示每次试验结果,则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω和事件A所包含试验结果. 一般来说,两个集合都是几个二元一次不等式的交集.
    (3)作出区域. 把以上集合所表示的平面区域作出,先作不等式对应的直线,然后取一特殊点验证哪侧是符合条件的区域.
    (4)计算求解. 根据几何概型的公式,易从平面图形中两个面积的比求得.
    在以上四步曲中,第二步和第三步是解答的关键,通过这两步,可以发现随机事件所对应的几何图形. 第三步的作图需理解其原理. 下面依据这四步曲再解一题.
    例3 一条直线型街道的A、B两盏路灯之间的距离为120米,由于光线较暗,想在中间再随意安装两盏路灯C、D,顺序为A、C、D、B. 问A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率是多少?
    解:(1)构设变量. 设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y米.
     (2)集合表示. 用 表示每次试验的结果,则所有可能结果为:
                    
          记A与C、B与D之间的距离都不小于40米为事件A,则事件A的可能结果为
                     .
    (3)作出区域. 如图所示,试验全部结果构成区域Ω为直线 与两坐标轴所围成的△ABC. 而事件A所构成区域是三条直线所夹中间的阴影部分.
    
    (4)计算求解. 根据几何概型公式,得到:
                .
    所以,A与C、B与D之间的距离都不小于40米的概率为.
    点评:此题易错误的认为,把AB三等分,由于中间长度为40米,所以路灯C与D需安装在中间一段,从而CD安装在中间的概率为. 错误的原因是试验的结果不可能独立地安装在这三段,有可能跨这三段中的两段安装. 用以上四步曲求解,我们可以得到清晰的解题思路.
     (责任编辑:admin)
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