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一. 教学内容：直线与圆的位置关系（二） 二. 重点、难点： 1. 相交弦定理 2. 割线定理 3. 切割线定理 4. 切线长定理 【典型例题】 [例1] 如图，⊙O是直角三角形的直角边AB为直径的圆ED与⊙O切于D，求证：  证明：连结OD、BD ∵ EB、ED都是⊙O的切线 ∴ EB=ED 又EO=EO ∠EBO=∠EDO=90° ∴ △EBO≌△EDO ∴ ∠1=∠2 ∵ ∠A=< style= >  ∠DOB=∠1，AO=OB ∴ EO CA ∵ OB=OD，∠1=∠2∴ BD⊥OE ∴ BD⊥CA 又 AB⊥BC ∴ △ABC∽△BDC ∴  即[例2] 如图，AB是半圆的直径，E是  上任意一点，过E作半圆的切线CD，分别过A，B作半圆的切线交CD于C、D两点，连结AD，BC交于P点，连结EP且延长交AB于F点，求证：EP=FP。 证明：∵ CA、CE是⊙O的切线 ∴ CA=CE 同理DE=DB ∵ CA是切线且AB为直径 ∴ CA⊥AB 同理DB⊥AB ∴ CA//DB ∴ △CAP∽△BDP ∴  ∴ EP//CA ∴  ∴ [例3] 如图所示，已知：P为正△ABC外接圆上一点，连结PB，PC和PA，D是PA和BC的交点。求证：  证明：在△PBD和△CAD中，∵ ∠PBD=∠CAD ∠PDB=∠CDA ∴ △PBD∽△CAD ∴  同理可证  [例4] 如图，已知O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，且∠I ∠BOC=180°，求∠BAC。  2∠A=180° 5∠A=180° ∠A=36°[例5] 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D，求证：AC平分∠BAD。  证明：连结BC ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=90° ∴ ∠B ∠CAB=90° ∵ AD⊥CE ∴ ∠ADC=90° ∴ ∠ACD ∠DAC=90° ∵ AC是弦，且CE和⊙O切于点C ∴ ∠ACD=∠B ∴ ∠DAC=∠CAB ∴ AC平分∠BAD [例6] 已知：如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线交⊙O于点C，AD是⊙O的切线交⊙O′于点D，求证：  证明：∵ ∠C=∠1 ∠2=∠D ∴ △ACB∽△DAB ∴  ∴ [例7] 已知：如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB= 根据切割线定理的推论，有 [例8] 已知：如图所示，在△ABC中，∠A=15°，∠ACB=90°，BC=1，O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆交AB于E、F两点，且E为AB的中点，D为半圆与AC的另一交点。 （1）求CF的长； （2）求BF的长； （3）求证：AD是方程  的斜边AB的中点 ∴ CE=AE∴ ∠ECA=∠A=15° ∴ ∠FEC=30° 由题意可知，BC垂直于⊙O的半径OC ∴ BC与⊙O相切于点C ∴ ∠BCF=∠FEC=30° ∵ ∠B=90°－∠A=75° ∴ ∠BFC=180°－（∠B ∠BCF）=180°－（75° 30°）=75° ∴ ∠B=∠BFC ∴ CF=BC=1 （2）连结OE、OF ∵ OC=OF ∠COF=2∠FEC=60° ∴ △COF是正△ ∴ OC=OF=CF=1 ∵ ∠ ECF=90°－（∠BCF ∠ECA）=90°－（30° 15°）=45° ∴ ∠EOF=2∠ECF=2×45°=90° ∴ △EOF是等腰直角三角形 ∴ EF=  即 解得  ， （舍）（3）∵  ∵ AF=AE EF= 即  ∴ AD是方程 [例9] 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长。 解：设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，则另一段长为  根据相交弦定理有   或[例10] 如图所示，⊙O分别切AB、AC于E、F，且交BC于M，N两点，∠A=90°，∠B=∠C，EB=1，△ABC的面积为S1，⊙O的面积为S2， ∴ ∠DAB=∠OAC ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC ∴ AO是BC的垂直平分线 ∴ BD=DC ∵ OD⊥MN ∴ MD=DN ∴ BM=NC （2）连结OE、OF，则四边形AEOF是四边形，设AE=x，则AB=x 1 S1= 即 |
S2=
或
，则（ ）
B. 
D. 
） C.（0，2） D.（0，
）
与⊙O1、⊙O2、⊙O3都相切，且这三圆两两相切，⊙O3的半径为4，⊙O1与⊙O2是两个相等圆，则⊙O1的半径是（ ）
B. 
C. 
C. 
C. 
D. 1
中，
∴ 8AE=122 AE=18
