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质点组动能定理在连接体问题中的应用 重庆市丰都中学 付红周 一、问题的提出 高中物理中的动能定理一般只适用于单个质点，对动能定理适用于对多个质点的系统没有介绍，但在复习动能定理时，试题中常常出现多个质点连接在一起的情况，如果对每个质点都去用动能定理，这样问题很复杂，如果在复习动能定理的基础上介绍质点组动能定理，既符合学生的认知规律，也符合学生身心发展特点，学生很容易接受，所以有必要在此先介绍质点组动能定理。把动能定理的适用范围推广到系统，得出质点组动能定理的内容，然后用质点组动能定理来解这类题就很方便。 二、质点组动能定理的内容 在静止参考系中，系统由多个质点组成，对每一质点用动能定理，然后求和后得到质点组动能定理，  ，即质点组动能的变化等于质点组受的外力和内力做功之和（动能定理）。也可以叫做系统动能定理，应注意：内力做功并不一定为零，只有当运动时两质点间距离保持不变（轻绳或轻杆类连接体），内力做功才为零。一般情况内力做功不为零。特例：若外力、内力都是保守力，则质点组的机械能守恒。质点系所有外力做功之和加上所有内力做功之和等于质点系总动能的改变量。和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，因为外力对质点系做功与参照系选择有关，而内力做功却与选择的参照系无关，因为力总是成对出现的，对作用力和反作用力（内力）所做功代数和取决于相对位移，而相对位移与选择的参照系无关。三、用质点组动能定理解连接体问题应该注意的问题 连接体是指运动中几个物体或叠放在一起、或并排挤放在一起、或用细绳、细杆联系在一起的物体组。高中阶段连接体主要有两体或三体问题。对于轻绳或轻杆，可以认为不可伸长，所以在运动过程中可认为相互作用的内力对系统做功的代数和为零，为类连接体的共同点，沿杆或绳的方向的速度大小相等，沿杆和绳的方向的相互作用力大小相等，但各个质点的速度大小不一定相等，各质点运动的位移的大小不一定相等。在用质点组动能定理解题时，得分清系统内力和系统外力。看系统各个内力和各个内力方向上移动的距离，看内力做功代数和是否为零。找出各外力及各外力的位移，以便表达各外力的功的代数和。找出各个质点在同一时刻初始时刻的速度和末速度的大小，以便表达出同一时刻系统的动能，用质点组动能定理求解轻绳或轻杆等连接体问题时，系统内力做功的代数和为零，所以只考虑系统外力的功，使问题简化。常用  求解。用质点组动能定理求解其它连接体时，相互作用的内力做功的代数和不一定为零，就不仅要考虑外力做功的总和，还要考虑内力做功的代数和。四、质点组动能定理在连接体是的具体应用 例1 如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m，物体A在水平面上。B由静止释放，当B沿竖直方向下降h时，测得A沿水平面运动的速度为v，这时细绳与水平面的夹角为θ。试分析计算B下降h过程中，地面摩擦力对A做的功。（滑轮的质量和摩擦均不计）  解：A与B的运动速度大小不等  ，轻绳对A和B的拉力为内力，做功代数和为零，系统只有B的重力和A的摩擦力做功，由质点组动能定理 得 例2 轻绳一端挂一质量为M的物体，另一端系在质量为m的圆环上，圆环套在竖直固定的细杆上，定滑轮与细杆相距0．3m，如图所示，将环拉至与定滑轮在同一水平高度上，再将环由静止释放，圆环沿杆向下滑动的最大位移为0．4m，若不计一切摩擦阻力，求：  （1）物体与圆环的质量之比； （2）圆环下落0．3m时的速度大小。（g取10m/s2） 解：（1）环下落0．4m时，物体上升的距离  ，以静止时为初位置，环下滑0．4m为末位置，绳的拉力对A和B做功的代数和为零，由质点组动能定理有： 得 （2）环下落0．3m时，物体上升的位移  ，物体的速度为 绳的拉力对环和物体做功的代数和为零，由质点组动能定理有 。解得v= m/s例3 如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为（m1＋m2）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。  解：开始时，A、B静止，设弹簧压缩量为x1，有 kx1＝m1g ① 挂C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x2，有 kx2＝m2g ② B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到其最低点。取A、C和弹簧为系统，由质点组动能定理有 ：m3g(x1＋x2)－m1g(x1＋x2) -△E＝0 ③ C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由质点组动能定理得  ④由③④式得  ⑤由①②⑤式得  ⑥例4 如图所示，竖直平面内放一直角杆AOB，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数μ=0．20，杆的竖直部分光滑，两部分各套有质量分别为2．0kg和1．0kg的小球A和B，A、B间用细绳相连，初始位置OA=1．5m，OB=2．0m，g取10 m/s2，则  (1)若用水平拉力F1沿杆向右缓慢拉A，使之移动0．5m，该过程中A受到的摩擦力多大？拉力F1做功多少？ (2)若小球A、B都有一定的初速度，A在水平拉力F2的作用下，使B由初始位置以1．0m/s的速度匀速上升0．5m，此过程中拉力F2做功多少？ 解：缓慢拉A，可以认为AB这一整体受平衡力，整体受四力平衡，竖直方向  水平方向 拉力F做的功由质点组动能定理有 得 （2）B匀速上升，竖直方向受平衡力，FN不变，f不变，由  ，得 B上升0．5m后，由 ，得 对A和B由质点组动能定理  用质点组动能定理解连接体问题时，选取质点组，找各力的位移大小的关系，各质点在同一时刻的速度大小的关系，看质点组各外力的功和各内力的功的代数和，各个质点的初动能和末动能的代数和，然后建立方程求解。 (责任编辑：admin) |