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两个竖直上抛运动相遇问题的分析方法 江西省都昌县第一中学 李一新 竖直上抛运动作为匀变速直线运动的一个特例，既可看成全过程的匀减速运动，又可以分为上升过程的匀减速运动和下降过程的自由落体运动。对于两个以不同的初速度在同一直线上作竖直上抛运动的物体的相遇问题，其实质就是一个追赶问题，相遇的位置有可能出现在上升阶段或下降阶段，她取决于两个物体抛出时的初速度大小、两个物体抛出点的高度差及抛出的时间间隔，如何分析此类问题呢？下面笔者就以一道例题谈一谈她的一些分析方法。 例题：将小球A以初速度VA=40 m/s竖直向上抛出，经过一段时间Δt后，又以初速度VB=30m/s将小球B从同一点竖直向上抛出，为了使两个小球能在空中相遇，试分析Δt应满足的条件。 解析：由于是在同一点抛出且VA＞VB，故相遇的位置一定是在A球下降阶段，B球有可能是在下降或上升阶段，其抛出的时间间隔就由这两过程决定。 方法一：利用空中的运动时间分析 要使两小球在空中相遇，Δt应满足的条件一定是介于某一范围内，因此，只要求出这个范围的最大值和最小值就可以了。 当小球B抛出后处于上升阶段时与A球相遇，经过的时间间隔较大，故Δt的最大值为小球A刚要落回抛出点的瞬间将小球B抛出。而小球A在空中运动的时间为：  ，即Δt的最大值为Δtmax=8s。 当小球B抛出后处于下降阶段时与A球相遇，经过的时间间隔较小，故Δt的最小值为A、B两小球同时落地，先后抛出的时间间隔。而小球B在空中运动的时间为：  ，则Δt的最小值为Δtmin=tA-tB=2s。 故要使A、B两小球在空中相遇，Δt应满足的条件为2s＜Δt＜8s。 方法二：利用位移公式分析 A、B两小球在空中相遇，不管其是在上升还是下降阶段相遇，相遇时的位移必相等。设小球B抛出后经时间t与小球A相遇，则小球A抛出后的运动时间为（t+Δt），由位移公式可得  整理后可得，相遇时小球B所经过时间为：  （1）考虑到A、B小球在空中相遇，则0＜t＜6s。 由（1）式可得：  ＞0 （2）＜6 （3）解（2）式得：1＜Δt＜8 解（3）式得：Δt＞2，或Δt＜－6（不合题意） 综合上述可得，要使A、B两小球在空中相遇，Δt应满足的条件为2s＜Δt＜8s。 方法三：巧选参考系分析 小球B经Δt再抛出后，以小球A为参考系，小球B作匀速直线运动，其相对速度为 =30－（40－gΔt）=gΔt－10 而此时小球A的位移为  ，则小球B与小球A相遇的时间为 同样，考虑到A、B小球在空中相遇，则0＜t＜6s，亦可以得到上述的（2）（3）两式，亦可求出要使A、B两小球在空中相遇，Δt应满足的条件为2s＜Δt＜8s。 方法四：利用图象分析 1．利用位移图象分析 由位移公式可得A、B两小球的位移随时间的关系为 SA=40t－5t2 SB=30t－5t2   可见，它们的图象均为抛物线，在位移-时间图象中分别作出它们的图象，如图1所示的图线A和B。经过不同时间Δt后再抛出小球B，只要将图线B逐渐向右移动，要使A、B两小球在空中相遇，必须使A、B两图线存在交点，交点的横坐标为相遇时的时刻，纵坐标为相遇时的位移。由图1可知，当移动的时间间隔为2s时，与图线A开始有交点，如图1中的B1位置；当移动的时间间隔为8s时，与图线A开始没有交点，如图中1的B3位置。由图可知，当2s＜Δt＜5s时，其相遇情况是A、B两球都处于下降阶段，当5s＜Δt＜8s时，其相遇情况是A球处于下降阶段B球处于上升阶段。因此可得A、B两小球在空中相遇，Δt应满足的条件为：2s＜Δt＜8s。 2．利用速度图象分析 由速度公式可得，A、B两小球的速度随时间的变化关系为： VtA=40－10t， VtB=30－10t   在速度—时间图象中分别作出它们的图象，如图2所示的图线A和B。要使A、B两小球在空中相遇，必须使小球B抛出后，在小球A落地之前，它的位移要大于零。而位移为速度图线与坐标轴所围成的面积，由如图2可知，将B的速度图线逐渐向右移动，移动的时间间隔在2s以内，小球A的位移总是大于小球B的位移，且小球B总先于小球A落地，A、B两小球不可能相遇，当时间间隔等于2s时，如图中B1位置，两球同时落地。继续将B的速度图线向右移动，在小球A落地之前的时间内，如图中B2、B3、B4、B5位置，小球B的位移总是大于零，即说明了A、B两小球在空中相遇了。由图可知，当2s＜Δt＜5s时，其相遇情况是A、B两球都处于下降阶段，当5s＜Δt＜8s时，其相遇情况是A球处于下降阶段B球处于上升阶段。故要使A、B两小球在空中相遇，Δt应满足的条件为：2s＜Δt＜8s。 点评：由以上四种分析方法可以看出，采用图象法简单、直观、易懂，对于A和B两小球是在上升阶段还是下降阶段相遇非常清楚；方法一虽然也简单，但不易弄懂，要分析出A和B两小球相遇的位置是上升阶段还是下降阶段，若能结合图象再加以分析，就非常清楚了；方法二和方法三不需要分析出A和B两小球相遇的位置是上升阶段还是下降阶段，逻辑性很强，但要解不等式，相对来说要复杂一些。 (责任编辑：admin) |