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变力做功的几种常见求解方法 江西省都昌县第一中学 李一新 功是能的转化的量度。功的计算在中学物理中占有重要的地位。在中学阶段，功的计算公式  只适用于恒力做功的情况，对于一些变力做功的情形，往往是不能直接应用此公式来直接计算。如何来求解变力所做的功呢？通常有以下几种方法。一、微元法 例1．如图1所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块在BC两上点的动能分别为EkB和EkC，图中AB=BC，则一定有（ ）  A．W1＞W2 B．W1＜W2 C．EkB＞EkC D．EkB＜EkC 解析：此题中的两个过程中,功的多少的比较可以采用微元法。如图1所示，将AB和BC段分成相同的无限段Δl1、Δl2、Δl3……，在A上升至B点绳子的拉力方向分别成α1、α2、α3……，各段所做的功分别为  、 、 ……；在B上升至C点绳子的拉力方向分别成β1、β2、β3……，各段所做的功分别为 、 、 ……，因α1＜β1、α2＜β2、α3＜β3……，故W1＞W2。因F大小未知，则滑块由A到C的过程是加速、减速情况难以确定，故只有A选正确。 二、图像法 例2．用铁锤将一枚铁钉钉入木块中，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，在铁锤钉第一次时，能把铁钉钉入木块内的深度为1cm，问钉第二次时，能钉入的深度为多少？（设铁锤每次做功相等）  解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，即  ，作出F—x图象，如图2所示，图象与坐标轴围成的面积即为铁锤对铁钉所的功。由于两次铁锤做功相等，故有  ，即 。解得 所以第二次铁钉钉入木块的深度为：  。三、对象转换法 例3．如图3所示，某人用跨过定滑轮的绳子以大小不变的力F拉着放在水平面的滑块，沿水平地面由A点前进距离l至B点，滑块在初、未位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β，已知小定滑轮至滑块的高度为H。求滑块由A点运动到B点过程中，绳子的拉力对滑块所做的功。  解析：从滑块运动来看，滑块受到的细绳拉力是变力。该力大小不变，而方向时刻变化，不能直接用公式来计算。此时，可转化研究对象，人对绳子做的功等于绳子对滑块所做的功，而从滑轮左边来看，人对细绳的拉力F始终为恒力，其位移大小为细绳伸长的长度，因此，绳子的拉力对滑块所做的功为：  。四、功率法 例4．质量为m=4.0×103kg的汽车，以恒定的功率从静止开始起动，经过4min速度达到最大值20m/s，假设汽车在这一过程中受到的阻力恒定，且f=2.0×103N，试求这一过程中汽车所做的功。 解析：因汽车的功率恒定，由P = Fv知道，汽车由静止启动达最大速度的过程中，牵引力F不断减小为变力，但功率恒定，可利用W=Pt来计算。 当速度最大时，牵引力F与受到的阻力f相等，则汽车牵引力的功率为：  W = 4.0×104W。所以，这一过程中汽车所做的功为： 。五、重力势能变化法 例5．从深为h的井中提升一质量为M的水桶，若所用绳索粗细均匀且质量为m，则把此水桶提到井上，至少需要做多少功？ 解析：把水桶提到井上，至少需要做的功必须是缓慢提起，不能增加动能，这样提起过程中，所需的提力是在逐渐地减小，是变力。但提力所做的功，是用于克服水桶和绳索的重力做功，使得它们的重力势能增加了，故至少需要做的功为：  。六、动能定理法 例6．一个质量为m的小球拴在细绳的一端，另一端受大小为F1的拉力作用，在光滑水平面上做半径为R1的匀速圆周运动，如图7所示，改变拉力的大小，使小球仍在水平面上做圆周运动，最后做半径为R2的匀速圆周运动，此时拉力大小为F2。在小球的半径由R1变为R2的过程中，拉力对小球做的功为多少？   解析：设半径为R1、R2时，小球做圆周运动的速度大小分别为v1、v2，由牛顿第二定律得：  ， 。由动能定理得： 。解得： 七、机械能守恒定律法 如果物体只受重力或弹力做功，机械能守恒，而弹力在做功的过程中是变力做功，此时可用机械能守恒定律来求解。 例7．如图8所示，质量m=2㎏的物体，从光滑的斜面的顶A点以的初速度v0=5m/s滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A点到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所的功。   解析：弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，由机械能守恒定律可得B点时的弹性势能：  。所以弹簧的弹力对物体所的功： 。
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