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活用导数的定义解题 广东省中山一中高中部 许少华 导数的定义是导数的基本概念之一，是导数的基础，也是学好导数必须扎实掌握的重点。围绕导数的定义产生的试题形形色色，为了让你全面认识这一概念，本文向你展示活用导数的定义解题，也许对你今后有学习会有帮助。请看： 1.求某点处的导数值 例1 已知  ，用导数定义求 解析：由于  ，那么  ，故 点评：本题借助导数定义，巧妙的产生了 的值。可以说这种求解非常好，就算是以后学了导数的运算法则及运算公式，这种方法依然少不了。2.大小比较 例2 函数  的图像如图所示,下列不等关系正确的是( ) (A)  (B)  (C)  (D)  解析：根据导数的几何意义,考察函数在点A(2,  )以及B(3, )的曲线的斜率，由图可见,过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率,则有 。另一方面,在这两点的平均变化率为 ,其几何意义为割线AB的斜率,由图(5)可见,答案应为C。点评：本题借助于导数定义，对“平均变化率”进行了考察，通过“平均变化率”使结论产生，显然，导数的定义在背后产生了作用。 3.求极限值 例3 已知f（3）＝3，  （3）＝－2，则： 的值为（ ）.A、0 B、2 C、3 D、6 解析：由 （3）＝－2，可得 ，于是 ＝ ＝ ＋ ＝1－ ＝1－（3）＝3. 故选C.点评：本题中将 （3）＝－2，结合导数的定义产生是解题的关键。有了这个转化，结论快速产生。4.速度问题 例4 某质点沿直线运动，运动规律是  ，求：⑴在  这段时间内的平均速度，这里 取值为1；⑵  时刻的瞬时速度。解析：（1）由于  那么  ，因为取值为1，故在 这段时间内的平均速度为25⑵在 时刻的瞬时速度：由 。点评：求平均速度就是先求  ，再写出当 的值；求时刻的瞬时速度，就是求，当 时的极限。也就是在该点处的导数值。5.探索性问题 例5 设 为可导函数且满足 ，问曲线 在点 处的切线斜率是否存在？若存在求在该点的切线斜率；若不存在，请说明理由.解析：∵ 为可导函数且,∴   ,∴ .即 在点处存在切线斜率,且在点处切线的斜率为 点评：本题是探索性问题，通过应用导数定义，借助已知条件产生了  的值，从而肯定了点处的切线斜率存在。好了，导数定义的活用，就谈到此，想一想你也能举出一例吗？ (责任编辑：admin) |