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错解剖析得真知(二十二)

http://www.newdu.com 2018-11-30 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    错解剖析得真知(二十二)
    §7.3  点、直线和圆锥曲线
    一、知识导学 
    1.  点M(x0,y0)与圆锥曲线C:f(x,y)=0的位置关系
    已知(a>b>0)的焦点为F1、F2, (a>0,b>0)
    的焦点为F1、F2(p>0)的焦点为F,一定点为P(x0,y0),M点到抛物线的准线的距离为d,则有:
    
    上述结论可以利用定比分点公式,建立两点间的关系进行证明.
    2.直线∶Ax+B+C=0与圆锥曲线C∶f(x,y)=0的位置关系:
    直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为:
    设直线:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由
    消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,(若a≠0时),
    △>0相交      △<0相离      △= 0相切
    注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.
    二、疑难知识导析 
    1.椭圆的焦半径公式:(左焦半径),(右焦半径),其中是离心率。 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:  (其中分别是椭圆的下上焦点).
    焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关  可以记为:左加右减,上减下加.
    2.双曲线的焦半径
    定义:双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段,叫做双曲线的焦半径.
    焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式:
    
    焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:
            ( 其中分别是双曲线的下上焦点)
    3.双曲线的焦点弦:
    定义:过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。
    焦点弦公式:
    当双曲线焦点在x轴上时,
    过左焦点与左支交于两点时:
    过右焦点与右支交于两点时:
    当双曲线焦点在y轴上时,
    过左焦点与左支交于两点时:
    过右焦点与右支交于两点时:
    4.双曲线的通径:
    定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦  .
    5.直线和抛物线
    (1)位置关系:
    相交(两个公共点或一个公共点);相离(无公共点);相切(一个公共点).
    联立,得关于x的方程
    当(二次项系数为零),唯一一个公共点(交点);
    当,则
    若,两个公共点(交点);
    ,一个公共点(切点);
    ,无公共点  (相离).
    (2)相交弦长:
    弦长公式:.
    (3)焦点弦公式:
    抛物线.
    抛物线.
    抛物线.
    抛物线.
    (4)通径:
    定义:过焦点且垂直于对称轴的相交弦  通径:.
    (5)常用结论:
    
    .
    三、经典例题导讲 
    [例1]求过点的直线,使它与抛物线仅有一个交点.
    错解: 设所求的过点的直线为,则它与抛物线的交点为
    ,消去整理得 
    直线与抛物线仅有一个交点,解得所求直线为
    正解:  ①当所求直线斜率不存在时,即直线垂直轴,因为过点,所以轴,它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时,直线为y = 1平行轴,它正好与抛物线只有一个交点.③一般地,设所求的过点的直线为,则
    解得k = ,∴ 所求直线为
    综上,满足条件的直线为:
    [例2]已知曲线C:与直线L:仅有一个公共点,求m的范围.
    错解:曲线C:可化为①,联立,得:
    ,由Δ=0,得.
    错因:方程①与原方程并不等价,应加上.
    正解:原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.(如图),结合图形易求得m的范围为.
    
    注意:在将方程变形时应时时注意范围的变化,这样才不会出错.
    [例3]已知双曲线,过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点,且P为AB中点.
    错解:(1)过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.
    (2)设过P的直线方程为,代入并整理得:
    
    ∴,又∵
    解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的.
    正解:接以上过程,考虑隐含条件“Δ>0”,当k=2时代入方程可知Δ<0,故这样的直线不存在.
    [例4]已知A、B是圆与x轴的两个交点,CD是垂直于AB的动弦,直线AC和DB相交于点P,问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE |-| PF | | 为定值?若存在,求出E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
    
    解:由已知得 A (-1, 0 )、B ( 1, 0 ),
    设 P ( x, y ),  C ( ) ,  则 D (),
    由A、C、P三点共线得     ①
    由D、B、P三点共线得      ②
    ①×② 得              ③
    又 ,   ∴,  代入③得
    即点P在双曲线上, 故由双曲线定义知,存在两个定点E (-, 0 )、
    F (, 0 )(即此双曲线的焦点),使 | | PE |-| PF | | = 2  (即此双曲线的实轴长为定值).
    [例5]已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆的方程.
    解:设所求椭圆的方程为=1.
    依题意知,点P、Q的坐标满足方程组:
    
    将②代入①,整理得
    ,                   ③
    设方程③的两个根分别为,则直线y=x+1和椭圆的交点为
    P(,+1),Q(,+1)
    由题设OP⊥OQ,|OP|=,可得
    
    整理得
    
    解这个方程组,得
      或  
    根据根与系数的关系,由③式得
     (1)  或  (2)
    解方程组(1)、(2)得
       或
    故所求椭圆方程为
     =1 ,  或 =1.
    [例6](06年高考湖南)已知椭圆C1=1,抛物线C2,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。(1)当AB⊥轴时,求的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;(2)若,且抛物线C2的焦点在直线AB上,求的值及直线AB的方程.
    解:(1)当AB⊥轴时,点A、B关于轴对称,所以=0,直线AB的方程为=1,
    从而点A的坐标为(1,)或(1,-),
    因为点A在抛物线上,所以.
    此时,抛物线C2的焦点坐标为(,0),该焦点不在直线AB上.
    (1)  当抛物线C2的焦点在直线AB上时,由(1)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为 .
    (2) 
    由消去    ①
    设A、B的坐标分别为 ()、().
    则是方程①的两根,.
    因为AB既是过C1的右焦点的弦,又是C2的焦点的弦,
    所以|AB|=(2-)+(2-)=4-,且
    |AB|=()+()=.
    从而=4-
    所以,即
    解得.
    因为C2的焦点F)在直线上,所以
    即
    当时直线AB的方程为
    当时直线AB的方程为.
    四、典型习题导练 
    1.顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为,则抛物线方程为          
    2.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点,则直线l在y轴上的截距b的取值范围为            
    3.
    试求m的取值范围.
    
    4. 设过原点的直线l与抛物线y2=4(x-1)交于A、B两点,且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F,
    (1)求直线l的方程;
    (2)求|AB|的长.
    5. 如图,过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON,求(1)MN与x轴交点的坐标;(2)求MN中点的轨迹方程.
    
    9.设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t,s单 位长度后得曲线C1.
    (1)写出曲线C1的方程;
    (2)证明曲线C与C1关于点A()对称;
    (3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明s=且t≠0.
     (责任编辑:admin)
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