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错解剖析得真知（二十九） §9.3 二项式定理 一、知识导学 1.二项式定理：  上列公式所表示的定理叫做二项式定理. 右边的多项式叫做  的二项展开式，它一共有ｎ＋1项.其中各项的系数  叫做二项式系数.式中的  叫做二项展开式的通项，用 表示，即 ＝.2.二项式系数的性质： （1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式  得到. （2）增减性与最大值. 二项式系数 ，当ｒ＜ 时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和.的展开式的各个二项式系数的和等于 .二、疑难知识导析 1．二项式定理是代数公式  和 的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解. 2．对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式.通项公式 ＝在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项.3．二项式定理的特殊表示形式 （1）  .这时通项是 ＝ .（2）  .这时通项是 ＝ .（3）  .即各二项式系数的和为 .4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即  三、经典例题导讲 [例1]已知  ，求  的值.错解：由二项展开式的系数的性质可知： 的展开式的各个二项式系数的和等于，显然， 就是展开式中的 ，因此的值为－1.错因：上述解答忽略了  是项的系数，而不是二项式系数.正解：由二项展开式的结构特征， 是项的系数，而不是二项式系数.观察式子特征，如果 ＝1，则等式右边为 ，出现所求式子的形式，而就是展开式中的，因此 ，即1＝1＋ ，所以，＝0评注 这是二项式定理的一个典型应用—赋值法，在使用赋值法时，令  、ｂ等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“－1”，或其他值.[例2]在多项式  的展开式中，含 项的系数为 .错解：原式＝  ＝ ∴ 项的系数为0.错因：忽视了ｎ的范围，上述解法得出的结果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供. 正解：原式＝ ＝ ∴当ｎ≠6时， 项的系数为0.当ｎ＝6时， 项的系数为1说明：本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少  这一项.[例3]  的末尾连续零的个数是 ( )A．7 B．5 C．3 D．2 解：  上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0.所以 的末尾连续零的个数是3. 故选C.[例4] 已知  的展开式前三项中的的系数成等差数列.（1）求展开式中所有的 的有理项；（2）求展开式中系数最大的项. 解：（1）展开式前三项的系数分别为  .由题设可知：  解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）. 当ｎ＝8时，  ＝ .据题意，4－  必为整数，从而可知 必为4的倍数，而0≤ ≤8，∴＝0,4，8.故 的有理项为： ， ， .（2）设第 ＋1项的系数 最大，显然＞0，故有  ≥1且 ≤1.∵ ＝ ，由  ≥1，得≤3.∵ ＝ ，由  ≤1，得≥2.∴ ＝2或＝3，所求项分别为 和 .评注：1.把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质. 2.运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含 某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的项（要注意ｎ和ｒ的数值范围及大小关系）.3.注意区分展开式“第 ＋1项的二项式系数”与“第＋1项的系数”.[例5]已知  的展开式中含项的系数为24，求展开式中含 项的系数的最小值.解：解法一 由  中含项的系数为24，可得 .从而， .设 中含项的系数为ｔ，则ｔ＝  .把  代入上式，得ｔ＝  .∴当ｎ＝6时，ｔ的最小值为120，此时ｍ＝ｎ＝6. 解法二 由已知 ，设 中含项的系数为ｔ，则ｔ＝  ≥2 ＝2（72－12）＝120.当且仅当ｍ＝ｎ＝6时，ｔ有最小值120. ∴ 展开式中含项的系数的最小值为120.评注：构造函数法是一种常用的方法，尤其在求最值问题中应用非常广泛. 四、典型习题导练 1．化简：  2. 设  ，则 的值为 3. （1+x）(2+x)(3+x)…(20+x)的展开式中x19的系数是 . 4. 式子  的展开式中的常数项是 （ ）A、－15 B、20 C、－20 D、15 5．已知二项式  中，＞0，ｂ＞0,2ｍ＋ｎ＝0但ｍｎ≠0，若展开式中的最大系数项是常数项，求 的取值范围.6．用二项式定理证明：  能被 整除 （ｎ∈ ，ｎ≥2）. (责任编辑：admin) |