|
椭圆与双曲线的对偶性质之双曲线篇(4) 杨志明 61．到双曲线  （a＞0,b＞0）两焦点的距离之比等于 （c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆 .62．到双曲线 （a＞0,b＞0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆 .63．到双曲线 （a＞0,b＞0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆 （e为离心率）.64．已知P是双曲线 （a＞0,b＞0）上一个动点， 是它实轴的两个端点,且 , ，则Q点的轨迹方程是 .65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项. 66．设双曲线 （a＞0,b＞0）实轴的端点为 , 是双曲线上的点过P作斜率为 的直线 ，过分别作垂直于实轴的直线交于 ,则（1）  .（2）四边形 面积的最小值是 .67．已知双曲线 （a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交于A、B两点,点 在右准线上，且 轴，则直线AC经过线段EF 的中点.68．OA、OB是双曲线  （a＞0,b＞0,且 ）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点 .(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是  .69．  是双曲线（a＞0,b＞0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点 .（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 ( 且 ).70．如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线  的距离分别为d1、d2，那么（1） ，且F1、F 2在 同侧 直线L和双曲线相切,或是双曲线的渐近线.（2） ，且F1、F2在L同侧直线 和双曲线相离，（3） ，或F1、F2在L异侧直线L和双曲线相交.71．AB是双曲线 （a＞0,b＞0）的实轴， 是双曲线上的动点，过的切线与过A、B的切线交于、 两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是 .72．设点  为双曲线（a＞0,b＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB是双曲线过定点的任一弦.(1)如  ,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时 .(2)如  ,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时,  .73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与a-c. 76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例. 82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长. 84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点. 85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点. 89. 已知双曲线  上有一点 ，过分别引其渐近线的平行线，分别交 轴于 ，交 轴于 ，  为原点，则：（1）  ； （2） .90. 过平面上的 点作直线 及 的平行线，分别交轴于，交轴于.（1）若，则的轨迹方程是.(2)若，则的轨迹方程是.91. 点 为双曲线在第一象限的弧上任意一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线 于 ，记  与 的面积为 ，则： .92. 点 为第一象限内一点，过引轴、轴的平行线，交轴、轴于，交直线于，记 与的面积为，已知，则的轨迹方程是或 .(责任编辑：admin) |