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高中数学竞赛讲义（六） ──三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=  ,其中r是圆的半径。定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=  ,余弦函数cosα= ,正切函数tanα= ，余切函数cotα= ，正割函数secα= ,余割函数cscα= 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=  ,sinα= ，cosα= ；商数关系：tanα= ；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin  =cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间  上为增函数，在区间 上为减函数，最小正周期为2 . 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+ 时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点  均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x  kπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。定理6 两角和与差的基本关系式：cos(α  β)=cosαcosβ sinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)= 定理7 和差化积与积化和差公式: sinα+sinβ=2sin  cos ,sinα-sinβ=2sincos,cosα+cosβ=2cos cos, cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=  [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α=  定理9 半角公式:sin  = ,cos= ,tan = = 定理10 万能公式:  ,  , 定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b2 0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ= ,cosβ= ，对任意的角α.asinα+bcosα=  sin(α+β).定理12 正弦定理：在任意△ABC中有  ，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。 定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+  )的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到y=sin ( )的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin( x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移 个单位得到y=Asinx的图象。定义4 函数y=sinx  的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kx arccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16 若  ，则sinx<x<tanx.二、方法与例题 1．结合图象解题。 例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。 例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若  ，则cosx≤1且cosx>-1，所以cos ，所以sin(cosx) ≤0,又0<sinx≤1, 所以cos(sinx)>0， 所以cos(sinx)>sin(cosx). 若  ，则因为sinx+cosx= (sinxcos +sincosx)= sin(x+)≤<，所以0<sinx< -cosx<，所以cos(sinx)>cos( -cosx)=sin(cosx).综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)<sin(cosx). 例3 已知α，β为锐角，且x·（α+β- ）>0，求证： 【证明】 若α+β> ，则x>0，由α>-β>0得cosα<cos(-β)=sinβ,所以0<  <1，又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0< <1，所以  若α+β< ，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,所以 >1。又0<sinα<sin(-β)=cosβ，所以>1，所以  ，得证。注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期的确定。 例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+ 时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2 sin(2cosπ)，所以T0=2π。4．三角最值问题。 例5 已知函数y=sinx+  ，求函数的最大值与最小值。【解法一】 令sinx=  ,则有y=  因为  ，所以 ，所以  ≤1，所以当  ，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，当  ，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.【解法二】 因为y=sinx+  ,=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)）， 且|sinx|≤1≤ ，所以0≤sinx+≤2，所以当 =sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时, ymax=2，当 =-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)时, ymin=0。例6 设0<  <π，求sin 的最大值。【解】因为0< <π，所以 ，所以sin >0, cos>0.所以sin （1+cos）=2sin·cos2= ≤ = 当且仅当2sin2 =cos2, 即tan= , =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值 。例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。 【解】 因为sinA+sinB=2sin  cos , ①sinC+sin  , ②又因为  ，③由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin  ≤4sin,所以sinA+sinB+sinC≤3sin = ,当A=B=C= 时，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。 例8 求  的值域。【解】 设t=sinx+cosx=  因为  所以  又因为t2=1+2sinxcosx, 所以sinxcosx=  ，所以 ，所以  因为t -1，所以 ，所以y-1.所以函数值域为  例9 已知a0=1, an=  (n∈N+)，求证：an> .【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈  ，则an=  因为  ，an∈，所以an= ，所以an= 又因为a0=tana1=1，所以a0= ，所以 ·。又因为当0<x< 时，tanx>x，所以 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当x∈ 时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin( x+)(A, , >0).由y=sinx的图象向左平移 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。例10 例10 已知f(x)=sin( x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数，求和的值。【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin( +)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。又0≤ ≤π，解得=，因为f(x)图象关于 对称，所以 =0。取x=0，得  =0，所以sin 所以  (k∈Z)，即= (2k+1) (k∈Z).又 >0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；取k=1时， =2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；取k=2时， ≥ ，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，综上， =或2。7．三角公式的应用。 例11 已知sin(α-β)=  ，sin(α+β)=- ，且α-β∈ ，α+β∈ ，求sin2α,cos2β的值。【解】 因为α-β∈ ，所以cos(α-β)=- 又因为α+β∈ ，所以cos(α+β)= 所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=  ,cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且  ，试求 的值。【解】 因为A=1200-C，所以cos  =cos(600-C)，又由于  =  ，所以  =0。解得  或 。又 >0，所以。例13 求证：tan20  +4cos70.【解】 tan20 +4cos70= +4sin20   三、基础训练题 1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。 2．适合  -2cscx的角的集合为___________。3．给出下列命题：（1）若α β，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα>0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。4．已知sinx+cosx=  (x∈(0, π))，则cotx=___________。5．简谐振动x1=Asin  和x2=Bsin 叠加后得到的合振动是x=___________。6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+ 1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别是第________象限角。7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。 8．已知  ，则 =___________。9．  =___________。10．cot15 cos25cot35cot85=___________。11．已知α,β∈(0, π), tan  , sin(α+β)=，求cosβ的值。12．已知函数f(x)=  在区间上单调递减，试求实数m的取值范围。四、高考水平训练题 1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________. 2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________. 3. 函数  的值域为__________.4. 方程  =0的实根个数为__________.5. 若sina+cosa=tana, a  ，则__________a（填大小关系）.6. (1+tan1 )(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.7. 若0<y≤x< 且tanx=3tany，则x-y的最大值为__________.8.  =__________.9.  ·cos ·cos ·cos ·cos =__________.10. cos271 +cos71cos49+cos249=__________.11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x. 13. 已知f(x)=  (kA0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若A>0, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、联赛一试水平训练题（一） 1．若x, y∈R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________. 2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=  的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是____________.3．f( )=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________.4．方程sinx+  cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________.5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________. 6．设sina>0>cosa, 且sin  >cos，则的取值范围是____________.7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解. 8．若x, y∈R, 则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. 9．若0< <, m∈N+, 比较大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m+1.10．cot70 +4cos70=____________.11. 在方程组  中消去x, y，求出关于a, b, c的关系式。12．已知α，β，γ ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。13．关于x, y的方程组  有唯一一组解，且sinα, sinβ, sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x, y）, x, y .联赛一试水平训练题（二） 1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=  的图象所围成的封闭图形的面积是__________.2．若  ，则y=tan -tan +cos的最大值是__________.3．在△ABC中，记BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，则  =__________.4．设f(x)=x2-πx, α=arcsin  , β=arctan , γ=arccos , δ=arccot , 将f(α), f(β), f(γ), f(δ)从小到大排列为__________.5．logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将a, b, c, d从小到大排列为__________. 6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则tanα·tanβ·tanγ=__________. 7．已知矩形的两边长分别为tan 和1+cos(0<<π)，且对任何x∈R, f(x)=sin·x2+ ·x+cos≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________. 9．已知当x∈[0, 1]，不等式x2cos -x(1-x)+(1-x)2sin>0恒成立，则的取值范围是__________.10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+ cos2y+ cos2z=__________. 11．已知a1, a2, …,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)+ cos(a2+x) +…+ cos(an+x)。求证：若实数x1, x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ.12．在△ABC中，已知  ，求证：此三角形中有一个内角为。13．求证：对任意自然数n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>  .六、联赛二试水平训练题 1．已知x>0, y>0, 且x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）. 2. 已知a为锐角，n≥2, n∈N+，求证：  ≥2n-2 +1.3. 设x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足x1=y1= , xn+1=xn+ , yn+1= ，求证：2<xnyn<3(n≥2).4．已知α，β，γ为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证；  π<α+β+γ<π.5．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意  ，恒有(x+3+2sincos)2+(x+asin+asin)2≥ 6. 设n, m都是正整数，并且n>m，求证：对一切x 都有2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|.7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。 8．求的有的实数a, 使cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一项均为负数。 9．已知 i，tan1tan2…tann=2 , n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的1，2，…，n都有cos1+cos2+…+cosn≤λ，求λ的最小值。本系列讲座由在人教中数论坛网友“0.1”整理提供，感谢他（她）的分享。 (责任编辑：admin) |