整数的p进位制及其应用 正整数有无穷多个,为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数,人们发明了进位制,这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系,近几年来,国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现,比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节,我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m位的正整数A,其各位上的数字分别记为,则此数可以简记为:(其中)。 由于我们所研究的整数通常是十进制的,因此A可以表示成10的次多项式,即,其中且,像这种10的多项式表示的数常常简记为。在我们的日常生活中,通常将下标10省略不写,并且连括号也不用,记作,以后我们所讲述的数字,若没有指明记数式的基,我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及,整数的表示除了用十进制外,还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣,究其原因,主要是二进制只使用0与1这两种数学符号,可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断,所以二进制除了是一种记数方法以外,它还是一种十分有效的数学工具,可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性,我们给出正整数A的p进制表示: ,其中且。 而仍然为十进制数字,简记为。 典例分析 例1.将一个十进制数字2004(若没有指明,我们也认为是十进制的数字)转化成二进制与八进制,并将其表示成多项式形式。 分析与解答 分析:用2作为除数(若化为p进位制就以p作为除数),除2004商1002,余数为0;再用2作为除数,除1002商501余数为0;如此继续下去,起到商为0为止。所得的各次余数按从左到右的顺序排列出来,便得到所化出的二进位制的数。 解:
故,; 同理,有,。 处理与数字有关的问题,通常利用定义建立不定方程来求解。 例2.求满足的所有三位数。 (1988年上海市竞赛试题) 解:由于,则,从而; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 当时,; 于是所求的三位数只有512。 例3.一个四位数,它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来(即个位数字与千位数字互换,十位数字与百位数字互换),所得的新数减去原数,所得的差为7812,求原来的四位数。(1979年云南省竞赛题) 解:设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为,则 原数 ① 颠倒后的新数 ② 由②-①得7812= 即 ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得 由于原四位数的千位数字不能为0,所以,从而,又显然百位数字,所以。所以所求的原四位数为1979。 例4.递增数列1,3,4,9,10,12,13,……是由一些正整数组成,它们或是3的幂,或是若个不同的3的幂之和,求该数列的第100项。(第4届美国数学邀请赛试题) 解:将已知数列写成3的方幂形式: 易发现其项数恰好是自然数列对应形式的二进制表示: 即 由于100= 所以原数列的第100项为。 例5.1987可以在b进制中写成三位数,如果,试确定所有可能的和。 (1987年加拿大数学竞赛试题) 解:易知,从而, 即, 由知。由知故; 又因为有12个正约数,分别为1,2,3,6,9,18,109,218,327,654,981,1962,所以,从而。 又由知 例6.设是五位数(第一个数码不是零),是由取消它的中间一个数码后所成的四位数,试确定一切使得是整数。(第3届加拿大数学竞赛试题) 解:设,其中且;; 而是整数,可证,即 即,这显然是成立的; 又可证,即< 即,这显然也是正确的。 于是,即,又因为是整数,从而; 于是,即= 即,而但3 102知为正整数) 从而,显然,因而推得其中。 例7.若且是其各位数字和的倍数,这样的有多少个?(2004年南昌竞赛试题) 解:(1)若为个位数字时,显然适合,这种情况共有9种; (2)若为100时,也适合; (3)若为二位数时,不妨设,则,由题意得 即即也就是; 若显然适合,此种情况共有9种; 若,则由,故 若,则显然可以,此时共有2+8=10个; 若()9,则或,这样的数共有24,42,48,84共4个; 综上所述,共有9+1+9+10+4=33个。 例8.如果一个正整数在三进制下表示的各数字之和可以被3整除,那么我们称为“好的”,则前2005个“好的”正整数之和是多少?(2005年中国奥林匹克协作体夏令营试题) 解:首先考虑“好的”非负整数,考察如下两个引理: 引理1.在3个连续非负整数(是非负整数)中,有且仅有1个是“好的”。 证明:在这三个非负整数的三进制表示中,0,1,2各在最后一位出现一次,其作各位数字相同,于是三个数各位数字之和是三个连续的正整数,其中有且仅有一个能被3整除(即“好的”),引理1得证。 引理2.在9个连续非负整数(是非负整数)中,有且仅有3个是“好的”。把这3个“好的”非负整数化成三进制,0,1,2恰好在这三个三进制数的最后一位各出现一次。 证明:由引理1不难得知在9个连续非负整数(是非负整数)中,有且仅有3个是“好的”。 另一方面,在这三个“好的”非负整数的三进制表示中,最高位与倒数第三位完全相同,倒数第二位分别取0,1,2。若它使它们成为“好的”非负整数,则最后一位不相同,引理2得证。 将所有“好的”非负整数按从小到大的顺序排成一列,设第2004个“好的”非负整数为,根据引理1, 得,即。 设前个“好的”正整数之和为,由于前2003个“好的”正整数之和等于前2004个“好的”非负整数之和。 因此; 又因为和都是“好的”正整数。因此前2005年“好的”正整数之和是: 。 (责任编辑:admin) |