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2007年台湾数学能力竞赛决赛 1. 试求使  为整数的正整数解2.  为一整系数多项式，a、b为两相异整数， ， ，…， ， ， ，…， ，若 、 ，且 ， ，试证：当 时， 3. 锐角  ， 上有一点D， 上有一点E， 上有一点F，试证：存在唯一一组解，使 ， ， 4. 给定 与其外接圆，令P为劣弧 上之一点，异于B、C，连 交于Q，试求 的最小值。（ ）5. 有一正整数列1，2，3，…，2n－1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，bn，求  之所有可能的值6. a、b、c为正实数，试证明：  参考答案： 1. 引理：  ，只要 不为有理数即可设  为一有理数，但 皆不为有理数。因   则   唯一有理数，矛盾。故  ，令 ， ，  为正整数，则 或2或3故共有8组解 2. 设  ， 亦为整系数多项式  故  或  …(1)又   故  或  …(2)欲使(1)(2)同时成立，唯有  ，故3. 作三高之垂足，显然成立。  设三垂足分别为D 0，E 0，F 0，若有一D异于D 0合条件，欲使 ，则 ，于是 ，同理 于是，若D在D 0左侧，则E，F也在左侧  与 相交，故不平行 ，不符合要求。若在右侧亦然，故D 0，E 0，F 0为唯一。 4. 设  ，A、B、P、C四点共圆 由正弦定理，  ，    5. 令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数，1、2、3、…、n为小数。 设  中必也有n－k个小数，则 中必有n－k个大数，k个小数，其中  令a1，a2，…，ak，bk+1，b k+2，…，bn为大数， b1，b2，…，bk，ak+1，a k+2，…，an为小数。  6. 令    当  时，不等式恒成立，故  ，同理  ，  则 (责任编辑：admin) |