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37．（辽宁•理•18题）如图，在直三棱柱  中， ， ， 分别为棱 的中点， 为棱 上的点，二面角 为 。（I）证明：  ；（II）求  的长，并求点 到平面 的距离。 【解答】本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力 （I）证明：连结  ，三棱柱 是直三棱柱，  平面 ，为 在平面内的射影．  中， ， 为 中点， ， ． ，．············ 4分（II）解法一：过点  作 的平行线，交 的延长线于 ，连结 ． 分别为的中点， ．又  ， ． ． 平面， 为在平面内的射影． ． 为二面角的平面角， ．在  中， ，， ．作  ，垂足为 ， ，， 平面 ，平面 平面 ， 平面．在  中， ， ， ，即到平面的距离为 ． ， 平面，到平面的距离与到平面的距离相等，为．解法二：过点 作的平行线，交的延长线于，连接．分别为的中点， ．又 ， ．平面，是在平面内的射影，． 为二面角的平面角，．在 中，，， ．············· 8分设 到平面的距离为 ， ．  ， ， ， ， ，即到平面的距离为． 12分38．（宁夏•理•19题）如图，在三棱锥  中，侧面 与侧面 均为等边三角形， ， 为 中点．（Ⅰ）证明：  平面；（Ⅱ）求二面角 的余弦值．  【解答】（Ⅰ）证明：由题设    ，连结 ，为等腰直角三角形，所以 ，且 ，又 为等腰三角形，故 ，且 ，从而 ．所以  为直角三角形， ．又  ．所以 平面．（Ⅱ）解法一： 取  中点，连结 ，由（Ⅰ）知 ，得 ． 为二面角的平面角．由  得 平面 ．所以  ，又 ，故 ．所以二面角 的余弦值为 ．解法二：以 为坐标原点，射线 分别为 轴、 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系 ．  设  ，则 ．的中点 ， ． ．故  等于二面角的平面角． ，所以二面角 的余弦值为．39．（陕西•理•19题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥  中 ，  ， ,BC=6。(Ⅰ)求证：  ；(Ⅱ)求二面角 的大小； 【解答】解法一：（Ⅰ）  平面 ， 平面． ．又  ， ． ， ， ，即 ．又  ． 平面 ．（Ⅱ）过  作 ，垂足为，连接 ． 平面， 是在平面上的射影，由三垂线定理知 ， 为二面角 的平面角．  又  ， ， ，又  ， ， ．由  得 ．在  中， ， ．二面角的大小为 ．解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，   则  ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，，又 ，平面．（Ⅱ）设平面  的法向量为 ，则  ， ，又  ， ， 解得  平面 的法向量取为 ， ， ．二面角的大小为 ．(责任编辑：admin) |