平面向量与解析几何的综合_高中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表总结-人教网-高中试卷网-中学学科网

    一. 教学内容：平面向量与解析几何的综合
    二. 教学重、难点：
    1. 重点：
    平面向量的基本知识，圆锥曲线的基本知识。
    2. 难点：
    平面向量与解析几何的内在联系和知识综合，向量作为解决问题的一种工具的应用意识。
    【典型例题
    [例1] 如图，已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为< > ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率.

    解：如图，以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系轴，因为双曲线经过点C、D且以AB为焦点，由对称性知C、D关于轴对称
    设A（）B（为梯形的高
    ∴
    设双曲线为则
    由（1）：（3）
    将（3）代入（2）：∴ ∴
    [例2] 如图，已知梯形ABCD中，，点E满足时，求离心率的取值范围。

    解：以AB的垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系轴。
    因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性，知C、D关于轴对称。
    依题意，记A（）、E（是梯形的高。
    由
    得
    设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和由（1）式，得（3）
    将（3）式代入（2）式，整理，得故，得解得所以，双曲线的离心率的取值范围为


    [例3] 在以O为原点的直角坐标系中，点A（）为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零，（1）求关于直线OB对称的圆的方程。（3）是否存在实数，使抛物线的取值范围。
    解：
    （1）设，则由，即，得或
    因为
    所以，故
    （2）由，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：得圆心（
    设圆心（）则得，
    故所求圆的方程为（3）设P（）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则
     得
    即、于是由故当时，抛物线（3）方法二：设P（），PQ的中点M（∴ （1）－（2）：代入∴ 直线PQ的方程为
    ∴ ∴
    [例4] 已知常数，经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（方向向量的直线相交于点P，其中，试问：是否存在两个定点E、F使为定值，若存在，求出E、F的坐标，不存在，说明理由。（2003天津）
    解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值。
    ∵ ∴
    因此，直线OP和AB的方程分别为和消去参数，得点P（，整理，得
     ① 因为（1）当（2）当时，方程①表示椭圆，焦点E 和F 为合乎题意的两个定点；
    （3）当时，方程①也表示椭圆，焦点E 和F（）为合乎题意的两个定点。
    [例5] 给定抛物线C：夹角的大小，（2）设求在轴上截距的变化范围
    解：
    （1）C的焦点F（1，0），直线的斜率为1，所以的方程为代入方程）、B（则有



    所以与
    （2）设A（）由题设
    即，由（2）得，
    ∴
    依题意有）或B（又F（1，0），得直线方程为
    当或由，可知∴
    直线在轴上截距的变化范围为
    [例6] 抛物线C的方程为）（的两条直线分别交抛物线C于A（）两点（P、A、B三点互不相同）且满足（（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程
    （2）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在轴上
    （3）当），求解：（1）由抛物线C的方程），准线方程为
    （2）证明：设直线PA的方程为
    点P（）的坐标是方程组的解
    将（2）式代入（1）式得
    于是，故（3）
    又点P（）的坐标是方程组的解
    将（5）式代入（4）式得，故
    由已知得，，则设点M的坐标为（），由。则
    将（3）式和（6）式代入上式得
    即（3）解：因为点P（，抛物线方程为由（3）式知，代入
    将得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

    于是，，

    因即或
    又点A的纵坐标满足当；当时，所以，
    [例7] 已知椭圆和点M（的取值范围；如要你认为不能，请加以证明。
    解：不可能为钝角，证明如下：如图所示，设A（

），直线

的方程为