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利用均值不等式求最值的方法

http://www.newdu.com 2018-11-16 互联网 佚名 参加讨论

    均值不等式 < style='width:141.75pt; > 当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。
    一、配凑
    1. 凑系数
    例1. 当< style='width:46.5pt;'> 时,求 的最大值。
    解析:由< style='width:46.5pt;'> 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到 为定值,故只需将
    当且仅当 ,即x=2时取等号。
    所以当x=2时, 的最大值。
    解析:由题意知 ,首先要调整符号,又 不是定值,故需对 进行凑项才能得到定值。
    ∵
    当且仅当 时等号成立。
    评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
    3. 分离
    例3. 求 的值域。
    解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。
    
    当 ,即
     ,即
     的值域为
    评注:分式函数求最值,通常化成 ,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
    二、整体代换
    例4. 已知 ,求 的最小值。
    解法1:不妨将 乘以1,而1用a+2b代换。
    
    
    当且仅当 时取等号,由
    即 时, 的最小值为
    解法2:将 分子中的1用
    评注:本题巧妙运用“1”的代换,得到 的积为定值,即可用均值不等式求得 的最小值。
    三、换元
    例5. 求函数 ,则 时,
    当且仅当 ,即
    评注:本题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题,从而为构造积为定值创造有利条件。
    四、取平方
    例6. 求函数 的和为定值。
    
    又
    当且仅当
    评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。
    总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。
    [练一练]
    1. 若 的最大值。
    2. 求函数 的最小值。
    3. 求函数 的最小值。
    4. 已知 ,且 ,求 的最小值。
    参考答案:1. 2. 5 3. 8 4.
     (责任编辑:admin)
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