|
均值不等式  当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑 1. 凑系数 例1. 当< style='width:46.5pt;'>  时，求 的最大值。解析：由< style='width:46.5pt;'> 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 当且仅当  ，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，  的最大值。解析：由题意知  ，首先要调整符号，又 不是定值，故需对 进行凑项才能得到定值。∵  当且仅当  时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 3. 分离 例3. 求  的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。  当  ，即 时 ，即 时 的值域为 。评注：分式函数求最值，通常化成  ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换 例4. 已知  ，求 的最小值。解法1：不妨将  乘以1，而1用a＋2b代换。  当且仅当  时取等号，由 即  时，的最小值为 。解法2：将 分子中的1用 评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到  与 的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、换元 例5. 求函数  ，则 时，当且仅当  ，即 。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。 四、取平方 例6. 求函数 的和为定值。 又  当且仅当  。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 ［练一练］ 1. 若  的最大值。2. 求函数  的最小值。3. 求函数  的最小值。4. 已知  ，且 ，求 的最小值。参考答案：1.  2. 5 3. 8 4.  (责任编辑：admin) |