高考数学试题分类汇编——导数（四）
http://www.newdu.com 2025/09/08 10:09:13 人民教育出版社 佚名 参加讨论
34、（全国一文 20）设函数  在 及 时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对于任意的  ，都有 成立，求c的取值范围．【解答】（Ⅰ）  ，因为函数  在及取得极值，则有 ， ．即  解得  ， ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，  ， ．当  时， ；当  时， ；当  时，．所以，当 时，取得极大值 ，又 ， ．则当  时，的最大值为．因为对于任意的 ，有恒成立，所以  ，解得  或 ，因此  的取值范围为 ．35、（全国二理 22）已知函数  ．（1）求曲线  在点 处的切线方程；（2）设  ，如果过点 可作曲线的三条切线，证明： ．【解答】（1）求函数 的导数； ．曲线 在点处的切线方程为： ，即  ．（2）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使 ．于是，若过点 可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根． 记  ，则   ．当 变化时， 变化情况如下表：
由  的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有一个实数根；当  时，解方程得 ，即方程只有两个相异的实数根；当  时，解方程得 ，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过 可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 ．36、（全国二文 22）已知函数  在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 ．（1）证明 ；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。 【解答】求函数 的导数 ．（Ⅰ）由函数 在处取得极大值，在处取得极小值，知 是 的两个根．所以  当  时，为增函数，，由 ， 得．（Ⅱ）在题设下， 等价于 即 ．化简得  ．此不等式组表示的区域为平面  上三条直线： ．所围成的  的内部，其三个顶点分别为： ． 在这三点的值依次为 ．所以 的取值范围为 ．  37、（山东理 22）设函数  ，其中 ．（Ⅰ）当  时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数  ，不等式 都成立．【解答】（Ⅰ）由题意知， 的定义域为 ， 设  ，其图象的对称轴为 ， ．当 时， ，即  在上恒成立， 当 时，，当时，函数在定义域上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当 时，函数无极值点．②  时， 有两个相同的解 ， 时，， 时，， 时，函数在上无极值点．③当  时，有两个不同解， ， ， 时， ， ，即  ， ． 时， ，随 的变化情况如下表：
由此表可知：  时，有惟一极小值点，当  时， ， ，此时， ，随的变化情况如下表：
由此表可知： 时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述： 时，有惟一最小值点 ；时，有一个极大值点 和一个极小值点 ； 时，无极值点．（Ⅲ）当  时，函数 ，令函数  ，则  ．当 时，，所以函数 在 上单调递增，又  ． 时，恒有 ，即 恒成立．故当  时，有 ．对任意正整数 取 ，则有．所以结论成立． 38、（山东文 21）设函数  ，其中 ．证明：当  时，函数没有极值点；当 时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．【解答】因为  ，所以的定义域为 ． ．当 时，如果 在上单调递增；如果  在上单调递减．所以当 ，函数没有极值点．当 时， 令 ，将  （舍去）， ，当  时， 随的变化情况如下表：
从上表可看出， 函数 有且只有一个极小值点，极小值为 ．当  时，随的变化情况如下表：
从上表可看出， 函数 有且只有一个极大值点，极大值为．综上所述，当 时，函数没有极值点；当 时，若 时，函数有且只有一个极小值点，极小值为 ．若 时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．(责任编辑：admin) |
