2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（二）
http://www.newdu.com 2025/09/08 09:09:09 人民教育出版社 佚名 参加讨论
9、（天津文）（本小题满分14分）设椭圆  的左、右焦点分别为 是椭圆上的一点， ，原点 到直线 的距离为 ．（Ⅰ）证明  ；（Ⅱ）求  使得下述命题成立：设圆 上任意点 处的切线交椭圆于 ， 两点，则 ．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分． （Ⅰ）证法一：由题设 及 ， ，不妨设点 ，其中 ，由于点 在椭圆上，有 ， ，解得  ，从而得到 ，直线  的方程为 ，整理得 ．由题设，原点 到直线的距离为，即 ，将  代入原式并化简得 ，即．证法二：同证法一，得到点 的坐标为 ，过点 作 ，垂足为 ，易知 ，故  由椭圆定义得  ，又 ，所以 ，解得  ，而 ，得 ，即．（Ⅱ）解法一：圆 上的任意点处的切线方程为 ．当 时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点 ， 的坐标是方程组 的解．当 时，由①式得 代入②式，得  ，即 ，于是  ，     ．若 ，则 ．所以，  ．由 ，得 ．在区间 内此方程的解为 ．当  时，必有 ，同理求得在区间内的解为．另一方面，当 时，可推出 ，从而．综上所述，  使得所述命题成立．10、（天津理）（本小题满分14分） 设椭圆 的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．（Ⅰ）证明 ；（Ⅱ）设  为椭圆上的两个动点，，过原点作直线 的垂线 ，垂足为 ，求点的轨迹方程．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分． （Ⅰ）证法一：由题设 及 ， ，不妨设点 ，其中．由于点在椭圆上，有，即．解得 ，从而得到 ．直线 的方程为，整理得．由题设，原点 到直线的距离为，即，将 代入上式并化简得，即．证法二：同证法一，得到点 的坐标为 ．过点 作，垂足为 ，易知   ，故．  由椭圆定义得 ，又，所以 ，解得 ，而，得，即．（Ⅱ）解法一：设点 的坐标为 ．当 时，由 知，直线的斜率为 ，所以直线的方程为 ，或 ，其中 ， ．点  的坐标满足方程组 将①式代入②式，得  ，整理得  ，于是  ， ．由①式得   ．由 知．将③式和④式代入得 ， ．将  代入上式，整理得 ．当 时，直线的方程为 ，的坐标满足方程组 所以  ， ．由 知，即 ，解得  ．这时，点 的坐标仍满足．综上，点 的轨迹方程为  ．解法二：设点 的坐标为，直线的方程为 ，由，垂足为，可知直线的方程为 ．记  （显然 ），点的坐标满足方程组 由①式得  ． ③由②式得  ． ④将③式代入④式得  ．整理得  ，于是  ． ⑤由①式得  ． ⑥由②式得  ． ⑦将⑥式代入⑦式得  ，整理得  ，于是  ． ⑧由 知．将⑤式和⑧式代入得 ， ．将 代入上式，得．所以，点 的轨迹方程为．11、（四川文）如果双曲线  ＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是(A)  (B) (C) (D) 解析：选A．由点  到双曲线右焦点 的距离是2知在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是 ，双曲线的右准线方程是 ，故点到 轴的距离是 ．12、（四川文）已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于 A.3 B.4 C.3  D.4解析：选C．设直线  的方程为 ，由 ，进而可求出的中点 ，又由在直线 上可求出 ，∴ ，由弦长公式可求出 ．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．13、（四川文）(本小题满分12分)设  、 分别是椭圆 的左、右焦点．（Ⅰ）若 是第一象限内该椭圆上的一点，且 ，求点的作标；（Ⅱ）设过定点  的直线 与椭圆交于同的两点、，且 为锐角（其中为作标原点），求直线的斜率 的取值范围．解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知  ，， ．∴  ， ．设  ．则 ，又，联立  ，解得 ， ．（Ⅱ）显然  不满足题设条件．可设的方程为 ，设 ， ．联立  ∴  ， 由   ， ，得 ．①又 为锐角 ，∴  又  ∴      ∴  ．②综①②可知  ，∴的取值范围是 ． (责任编辑：admin) |