2007年高考数学试题分类汇编——导数（二）
http://www.newdu.com 2025/09/08 09:09:16 人民教育出版社 佚名 参加讨论
23、（福建理 22）已知函数  （Ⅰ）若  ，试确定函数 的单调区间；（Ⅱ）若  ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；（Ⅲ）设函数  ，求证： ．【解答】本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）由 得 ，所以 ．由  得 ，故的单调递增区间是 ，由  得 ，故的单调递减区间是 ．（Ⅱ）由  可知 是偶函数．于是 对任意成立等价于 对任意 成立．由  得 ．①当  时， ．此时 在 上单调递增．故  ，符合题意．②当  时， ．当  变化时 的变化情况如下表：
由此可得，在 上， ．依题意，  ，又 ．综合①，②得，实数 的取值范围是 ．（Ⅲ）  ，  ， ， 由此得，  故  ．24、（福建文 20）设函数  ．（Ⅰ）求 的最小值 ；（Ⅱ）若  对 恒成立，求实数 的取值范围．【解答】本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分． （Ⅰ）  ， 当 时，取最小值 ，即  ．（Ⅱ）令  ，由  得 ， （不合题意，舍去）．当  变化时 ， 的变化情况如下表：
 在 内有最大值 ．在内恒成立等价于 在内恒成立，即等价于  ，所以 的取值范围为 ．25、(广东理、文 20)已知  是实数，函数 ．如果函数 在区间 上有零点，求的取值范围．【解答】若  ,  ,显然在上没有零点, 所以  令  得  当  时,  恰有一个零点在 上;当  即  时, 也恰有一个零点在上;当 在上有两个零点时, 则 或 解得  或 因此 的取值范围是  或  ;26、（海南理 21）设函数  （I）若当  时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若 存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于 ．【解答】（Ⅰ）  ，依题意有  ，故 ．从而  ．的定义域为 ，当 时，；当  时，；当  时，．从而， 分别在区间 单调增加，在区间 单调减少．（Ⅱ） 的定义域为 ， ．方程  的判别式 ．（ⅰ）若  ，即 ，在的定义域内，故的极值．（ⅱ）若  ，则 或 ．若  ， ， ．当  时， ，当 时，，所以无极值．若 ， ， ，也无极值．（ⅲ）若  ，即 或 ，则有两个不同的实根 ， ．当 时， ，从而 有的定义域内没有零点，故无极值．当 时， ， ，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在 取得极值．综上， 存在极值时，的取值范围为 ．的极值之和为 ．27、（海南文 19）设函数  （Ⅰ）讨论 的单调性；（Ⅱ）求 在区间 的最大值和最小值．【解答】 的定义域为．（Ⅰ）  ．当 时，；当时，；当时，．从而， 分别在区间 ， 单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 在区间的最小值为 ．又   ．所以 在区间的最大值为 ．28、（湖北理 20）已知定义在正实数集上的函数  ， ，其中 ．设两曲线， 有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用 表示 ，并求的最大值；（II）求证：  （ ）．【解答】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． （Ⅰ）设 与 在公共点 处的切线相同． ， ，由题意 ， ．即  由 得： ，或 （舍去）．即有  ．令  ，则 ．于是当  ，即 时， ；当  ，即 时， ．故 在 为增函数，在 为减函数，于是 在 的最大值为 ．（Ⅱ）设  ，则   ．故  在 为减函数，在 为增函数，于是函数 在上的最小值是 ．故当 时，有 ，即当时， ．29、（湖北文 19）设二次函数  ，方程 的两根 和 满足 ．（I）求实数 的取值范围；（II）试比较  与 的大小．并说明理由．【解答】本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力． 解法1：（Ⅰ）令  ，则由题意可得    ．故所求实数 的取值范围是 ．（II）  ，令 ． 当时， 单调增加，当 时，  ，即 ．解法2：（I）同解法1． （II）  ，由（I）知， ．又 于是 ，即  ，故 ．解法3：（I）方程   ，由韦达定理得 ， ，于是  ．故所求实数 的取值范围是．（II）依题意可设  ，则由，得  ，故．(责任编辑：admin) |
