2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（五）
http://www.newdu.com 2025/09/08 09:09:46 人民教育出版社 佚名 参加讨论
37、（江西理）设椭圆  的离心率为 ，右焦点为 ，方程 的两个实根分别为 和 ，则点 （ ）A．必在圆  内 B．必在圆上C．必在圆 外 D．以上三种情形都有可能【解答】由 = 得a=2c，b= ，所以 ，所以点到圆心（0，0）的距离为 ，所以点P在圆内，选A38、（江西理）（本小题满分12分）设动点  到点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常数 ，使得 ．（1）证明：动点 的轨迹 为双曲线，并求出的方程；（2）过点  作直线双曲线的右支于 两点，试确定 的范围，使 ，其中点 为坐标原点． 【解答】解法一：（1）在  中， ，即 ， ，即 （常数），点 的轨迹是以 为焦点，实轴长 的双曲线．方程为：  ．（2）设  ， ①当  垂直于 轴时，的方程为 ， ， 在双曲线上．即  ，因为 ，所以 ．②当 不垂直于轴时，设的方程为 ．由  得： ，由题意知：  ，所以  ， ．于是：  ．因为  ，且在双曲线右支上，所以 ．由①②知，  ．解法二：（1）同解法一 （2）设 ，，的中点为 ．①当  时， ，因为 ，所以；②当  时， ．又  ．所以 ；由  得 ，由第二定义得  ．所以  ．于是由  得 因为  ，所以 ，又，解得：  ．由①②知．39、（江西文）连接抛物线  的焦点 与点 所得的线段与抛物线交于点 ，设点为坐标原点，则三角形 的面积为（ ）A．  B． C． D． 【解答】线段  所在直线方程 与抛物线交于 则：  ，选B40、（江西文）设椭圆 的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（ ）A．必在圆 上 B．必在圆外C．必在圆 内 D．以上三种情形都有可能【解答】由 =得a=2c，b=，所以，所以点 到圆心（0，0）的距离为，所以点P在圆内，选C. 41、（江西文）（本小题满分14分）设动点 到点 和 的距离分别为和， ，且存在常数，使得．（1）证明：动点 的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）如图，过点  的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使 是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．  【解答】（1）在  中，    （小于 的常数）故动点 的轨迹是以 ，为焦点，实轴长的双曲线．方程为 ．（2）方法一：在  中，设 ， ， ， ．假设 为等腰直角三角形，则 由②与③得  ，则  由⑤得  ，  ， 故存在  满足题设条件．方法二：（1）设 为等腰直角三角形，依题设可得 所以  ， ．则  ．①由  ，可设 ，则  ， ．则  ．②由①②得  ．③根据双曲线定义  可得， ．平方得：  ．④由③④消去  可解得，故存在 满足题设条件．42、(江苏理)在平面直角坐标系  中，双曲线中心在原点，焦点在 轴上，一条渐近线方程为 ，则它的离心率为A．  B． C． D．【解答】由   ， 选A43、(江苏理)在平面直角坐标系 中，已知 顶点 和 ，顶点在椭圆 上，则 . 【解答】利用椭圆定义和正弦定理 得  b=2*4=8 44、(江苏理)（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系 中，过轴正方向上一点 任作一直线，与抛物线 相交于 两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线 交于 ，（1）若  ，求 的值；（5分）（2）若 为线段的中点，求证： 为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）   【解答】（1）设过C点的直线为  ，所以 ，即 ，设A ， = ， ，因为，所以 ，即 ， 所以  ，即 所以 （2）设过Q的切线为  ， ，所以 ，即 ，它与 的交点为M ，又 ，所以Q ，因为 ,所以 ，所以M ,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q ，因为PQ 轴，所以 因为  ，所以P为AB的中点。45、（湖南理）设  分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段 的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．  B． C． D． 【解答】由已知P  ，所以 的中点Q的坐标为 ，由  当  时， 不存在，此时为中点， 综上得  (责任编辑：admin) |