2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（四）
http://www.newdu.com 2025/09/08 08:09:44 人民教育出版社 佚名 参加讨论
22、（山东理）（本小题满分12分）已知椭圆  的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 ．（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；（Ⅱ）若直线  与椭圆相交于 ， 两点（ 不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．【解答】(I)由题意设椭圆的标准方程为   ，  (II)设  ，由 得 ， ， .   以AB为直径的圆过椭圆的右顶点  ， ， ， ， ，解得 ，且满足.当  时， ，直线过定点 与已知矛盾；当  时， ，直线过定点 综上可知，直线 过定点，定点坐标为23、（全国2理）设  分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点，使 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）A．  B． C． D． 【解答】设F1，F2分别是双曲线  的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中 ， ，∴ 离心率 ，选B。24、（全国2理）设  为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则 （ ）A．9 B．6 C．4 D．3 【解答】设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若  =0，则F为△ABC的重心，∴ A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，∴ |FA|+|FB|+|FC|=  ，选B。25、（全国2理）（本小题满分12分）在直角坐标系  中，以 为圆心的圆与直线 相切．（1）求圆 的方程；（2）圆 与轴相交于两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取值范围．【解答】（1）依题设，圆 的半径 等于原点到直线的距离，即  ．得圆 的方程为 ．（2）不妨设  ．由 即得 ．设  ，由成等比数列，得 ，即  ．  由于点 在圆内，故 由此得  ．所以 的取值范围为 ．26、（全国2文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A．  B． C． D． 【解答】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴  ，椭圆的离心率 ，选D。27、（全国2文）设 分别是双曲线 的左、右焦点．若点在双曲线上，且 ，则 （ ）A．  B． C． D． 【解答】设 分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则 = ，选B。28、（全国1理）已知双曲线的离心率为  ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（ ）A．  B． C． D． 【解答】已知双曲线的离心率为2，焦点是  ， ，则c=4，a=2， ，双曲线方程为，选A。29、（全国1理）抛物线 的焦点为，准线为，经过且斜率为 的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点， ，垂足为 ，则 的面积是（ ）A．  B． C． D． 【解答】抛物线 的焦点F(1，0)，准线为l： ，经过F且斜率为的直线 与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3，2 )， ，垂足为K(－1，2)，∴ △AKF的面积是4，选C。30、（全国1理）（本小题满分12分）已知椭圆  的左、右焦点分别为 ， ．过的直线交椭圆于 两点，过的直线交椭圆于 两点，且 ，垂足为．（Ⅰ）设 点的坐标为 ，证明： ；（Ⅱ）求四边形  的面积的最小值．【解答】（Ⅰ）证明：椭圆的半焦距  ，由  知点在以线段 为直径的圆上，故 ，所以，  ．（Ⅱ）（ⅰ）当  的斜率 存在且 时，的方程为 ，代入椭圆方程，并化简得 ．设  ， ，则 ，  ；因为  与 相交于点，且的斜率为 ，所以，  ．四边形 的面积 ．当  时，上式取等号．（ⅱ）当 的斜率 或斜率不存在时，四边形的面积 ．综上，四边形 的面积的最小值为 ．31、（海南、宁夏理）已知抛物线  的焦点为，点 ， 在抛物线上，且 ， 则有（ C ）A．  B． C．  D． 【分析】：由抛物线定义，  即：．32、（海南、宁夏理）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．3 【分析】：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则：   33、（海南、宁夏理）（本小题满分12分）在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为的直线与椭圆 有两个不同的交点和 ．（I）求 的取值范围；（II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量 与 共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）由已知条件，直线 的方程为 ，代入椭圆方程得  ．整理得  ①直线 与椭圆有两个不同的交点和等价于 ，解得  或 ．即的取值范围为 ．（Ⅱ）设  ，则 ，由方程①，  ． ②又  ． ③而  ．所以 与共线等价于 ，将②③代入上式，解得  ．由（Ⅰ）知 或，故没有符合题意的常数．34、（辽宁理）设 为双曲线 上的一点，是该双曲线的两个焦点，若 ，则 的面积为（ ）A．  B． C． D． 【解答】因为 ，设 ，根据双曲线定义得 ，所以 ， ，为直角三角形，其面积为 ，选B35、（辽宁理）设椭圆  上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点 满足 ，则 = ．【解答】椭圆 左准线为 ，左焦点为（-3，0），P（ ，由已知M为PF中点，M（ ，所以  36、（辽宁理）（本小题满分14分）已知正三角形  的三个顶点都在抛物线 上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I）求圆 的方程；（II）设圆 的方程为 ，过圆上任意一点分别作圆的两条切线 ，切点为 ，求 的最大值和最小值．【解答】本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分． （I）解法一：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知 ．解得  ，所以  ， 或 ， ．设圆心 的坐标为 ，则 ，所以圆的方程为 ．················ 4分解法二：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知 ．又因为  ， ，可得 ．即 ．由  ， ，可知 ，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．设 点的坐标为，则点坐标为 ，于是有 ，解得 ，所以圆的方程为．···· 4分（II）解：设  ，则 ．········ 8分在  中， ，由圆的几何性质得  ， ，所以  ，由此可得 ．则  的最大值为 ，最小值为 ．(责任编辑：admin) |