2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（六）
http://www.newdu.com 2025/09/08 04:09:29 人民教育出版社 佚名 参加讨论
46、（本小题满分12分）已知双曲线  的左、右焦点分别为 ， ，过点的动直线与双曲线相交于 两点．（I）若动点  满足 （其中 为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在  轴上是否存在定点 ，使 · 为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】由条件知  ， ，设 ， ．解法一：（I）设  ，则 则 ， ， ，由得 即 于是  的中点坐标为 ．当 不与轴垂直时， ，即 ．又因为 两点在双曲线上，所以 ， ，两式相减得 ，即 ．将 代入上式，化简得 ．当 与轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程．所以点 的轨迹方程是．（II）假设在 轴上存在定点 ，使 为常数．当 不与轴垂直时，设直线的方程是 ．代入 有 ．则  是上述方程的两个实根，所以 ， ，于是     ．因为 是与 无关的常数，所以 ，即 ，此时= ．当 与轴垂直时，点的坐标可分别设为 ， ，此时  ．故在 轴上存在定点 ，使为常数．解法二：（I）同解法一的（I）有 当 不与轴垂直时，设直线的方程是．代入 有．则 是上述方程的两个实根，所以． ．由①②③得  ．…………………④ ．……………………………⑤当  时， ，由④⑤得， ，将其代入⑤有 ．整理得．当  时，点的坐标为 ，满足上述方程．当 与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点 的轨迹方程是．（II）假设在 轴上存在定点点，使为常数，当 不与轴垂直时，由（I）有 ，．以上同解法一的（II）． 47、（湖南文）设  分别是椭圆 （ ）的左、右焦点， 是其右准线上纵坐标为 （ 为半焦距）的点，且 ，则椭圆的离心率是（ ）A．  B． C． D． 【解答】由已知P（  ），所以 化简得 48、（湖南文）（本小题满分13分）已知双曲线 的右焦点为 ，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是 ．（I）证明 ，为常数；（II）若动点 满足 （其中为坐标原点），求点的轨迹方程．【解答】由条件知  ，设，．（I）当 与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，此时 ．当 不与轴垂直时，设直线的方程是．代入 ，有．则 是上述方程的两个实根，所以，，于是     ．综上所述， 为常数．（II）解法一：设 ，则 ， ， ， ，由得： 即 于是 的中点坐标为 ．当 不与轴垂直时， ，即 ．又因为 两点在双曲线上，所以，，两式相减得，即 ．将 代入上式，化简得 ．当 与轴垂直时，，求得 ，也满足上述方程．所以点 的轨迹方程是．解法二：同解法一得 ……………………①当 不与轴垂直时，由（I） 有．……………②．………………③由①②③得  ．…………………………④．…………………………………⑤当 时，，由④⑤得， ，将其代入⑤有 ．整理得．当 时，点的坐标为 ，满足上述方程．当 与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．故点 的轨迹方程是．49、（湖北理）双曲线  的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为和；抛物线 的准线为，焦点为 与的一个交点为，则 等于（ ）A． B． C． D．【解答】由题设可知点 同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上,故 由定义可得  故原式  ，选A  点评：本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性。 易错点：由于畏惧心理而胡乱选择，不能将几何条件有机联系转化，缺乏消元意识。 50、（湖北理）已知直线  （ 是非零常数）与圆 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）A．60条 B．66条 C．72条 D．78条 【解答】可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆 上的整数点共有12个，分别为 ， ，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成 条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直 轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有 条，选A点评：本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征。是较难问题 易错点：不能准确理解题意，甚至混淆。对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择。 (责任编辑：admin) |