2007年高考数学试题汇编──函数与导数（三）
http://www.newdu.com 2025/09/09 08:09:41 人民教育出版社 佚名 参加讨论
29、(07上海)已知函数  （1）判断函数  的奇偶性；（2）若 在区间 是增函数，求实数 的取值范围。解：（1）当  时， 为偶函数；当 时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）设  ，  ，由 得 ， 要使 在区间是增函数只需 ，即  恒成立，则 。另解（导数法）：  ，要使在区间是增函数，只需当 时， 恒成立，即 ，则 恒成立，故当 时，在区间是增函数。30、（重庆理）已知函数  (x>0)在x = 1处取得极值 ，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值； （2）讨论函数f(x)的单调区间； （3）若对任意x>0，不等式  恒成立，求c的取值范围。解：（I）由题意知  ，因此 ，从而 ．又对  求导得  ．由题意  ，因此 ，解得 ．（II）由（I）知  （ ），令 ，解得 ．当  时， ，此时为减函数；当  时， ，此时为增函数．因此 的单调递减区间为 ，而的单调递增区间为 ．（III）由（II）知， 在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使 （）恒成立，只需 ．即  ，从而 ，解得  或 ．所以  的取值范围为 ．31、（浙江理）设  ，对任意实数 ，记 ．（I）求函数  的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当 时，  对任意正实数成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数  ，使得 对任意正实数成立．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分． （I）解：  ．由 ，得 ．因为当  时， ，当 时， ，当 时， ，故所求函数的单调递增区间是  ， ；单调递减区间是 ．（II）证明：（i）方法一：令  ，则  ，当 时，由 ，得 ，当 时， ，所以  在 内的最小值是 ．故当 时，对任意正实数成立．方法二： 对任意固定的 ，令 ，则 ，由  ，得 ．当 时， ．当 时， ，所以当 时， 取得最大值 ．因此当 时， 对任意正实数成立．（ii）方法一：  ．由（i）得， 对任意正实数成立．即存在正实数  ，使得 对任意正实数成立．下面证明 的唯一性：当 ， ， 时， ， ，由（i）得， ，再取  ，得 ，所以 ，即 时，不满足对任意都成立．故有且仅有一个正实数 ，使得 对任意正实数成立．方法二：对任意 ，，因为 关于的最大值是 ，所以要使 对任意正实数成立的充分必要条件是： ，即  ，①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数 ，使得对任意正实数成立．32、（天津理）已知函数  ，其中 ．（Ⅰ）当  时，求曲线 在点 处的切线方程；（Ⅱ）当  时，求函数的单调区间与极值．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）解：当 时， ， ，又  ， ．所以，曲线 在点处的切线方程为 ，即  ．（Ⅱ）解：  ．由于 ，以下分两种情况讨论．（1） 当  时，令，得到 ， ．当 变化时， 的变化情况如下表：
所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函数．函数 在处取得极小值 ，且 ，函数 在 处取得极大值 ，且 ．（2） 当  时，令，得到 ，当变化时，的变化情况如下表：
所以 在区间 ， 内为增函数，在区间 内为减函数．函数 在 处取得极大值，且．函数 在 处取得极小值，且．(责任编辑：admin) |
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