2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（七）
http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
51、（湖北理）（本小题满分12分）在平面直角坐标系  中，过定点 作直线与抛物线 （ ）相交于 两点．（I）若点  是点 关于坐标原点 的对称点，求 面积的最小值；（II）是否存在垂直于  轴的直线 ，使得被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） 【解答】本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力． 解法1：（Ⅰ）依题意，点 的坐标为 ，可设 ，直线  的方程为 ，与联立得 消去得 ． 由韦达定理得  ， ．于是  ．  ， 当 时， ．（Ⅱ）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，的中点为 ，与为直径的圆相交于点 ， 的中点为 ，则 ， 点的坐标为 ．  ， ，   ，  ．令  ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线存在，其方程为 ，即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得   ，又由点到直线的距离公式得  ．从而  ，当时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线 存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为 ，将直线方程 代入得 ，则  ．设直线 与以为直径的圆的交点为 ，则有  ．令 ，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线． 52、（湖北文）过双曲线  左焦点 的直线交曲线的左支于 两点， 为其右焦点，则 的值为______．【解答】根据双曲线定义有|MF2|-|MF|=2a，|NF2|-|NF|=2a，两式相加得|MF2|+|NF2|-|MN|=4a=8 点评：本题主要考查双曲线定义的灵活运用。 53、（广东理）在平面直角坐标系  中，有一定点 ,若线段 的垂直平分线过抛物线 则该抛物线的方程是 ．【解答】OA的垂直平分线的方程是y-  ，令y=0得到x= ;54、（广东理）(本小题满分14分)在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限、半径为 的圆与直线 相切于坐标原点．椭圆 与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 ．(1)求圆 的方程；(2)试探究圆 上是否存在异于原点的点 ，使到椭圆右焦点 的距离等于线段 的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】(1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则  =2 即  =4 ①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m2+n2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得  故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2)  =5，∴ =25，则椭圆的方程为 其焦距c=  =4，右焦点为(4，0)，那么 =4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于 的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=  ，y= 即存在异于原点的点Q( ，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。55、（广东文）在平面直角坐标系 中，已知抛物线关于 轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ． 【解答】设所求抛物线方程为  ,依题意 ,故所求为 .56、（广东文）(本小题满分14分)在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．(1)求圆 的方程；(2)试探究圆 上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点F的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】设圆C 的圆心为 (m, n) 则  解得 所求的圆的方程为  (2) 由已知可得   椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ;假设存在Q点  使 , 整理得  代入  得: ,  因此不存在符合题意的Q点. 57、（福建理）以双曲线  的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A．  B． C．  D． 【解答】右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为  ，即 ， ，圆方程为 ，即A  ，选A58、（福建理）（本小题满分12分）如图，已知点  ，直线 ，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且 ．  （Ⅰ）求动点 的轨迹的方程；（Ⅱ）过点 的直线交轨迹于两点，交直线于点 ，已知 ， ，求 的值；【解答】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分． 解法一：（Ⅰ）设点  ，则 ，由得： ，化简得 ．  （Ⅱ）设直线 的方程为： ．设  ， ，又 ，联立方程组  ，消去得： ， ，故 由 ，得： ， ，整理得： ， ，    ．解法二：（Ⅰ）由 得： ， ， ， ．所以点 的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为： ．（Ⅱ）由已知 ，，得 ．则：  ．…………①过点 分别作准线的垂线，垂足分别为 ， ，则有：  ．…………②由①②得：  ，即 ．(责任编辑：admin) |
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