2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（九）
http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
62、（北京文）椭圆  的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点分别为 ，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A．  B． C． D． 【解答】椭圆 的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若 ， ，，则 ，该椭圆离心率e≥ ，取值范围是，选D。63、（北京文）如图，矩形  的两条对角线相交于点 ， 边所在直线的方程为 点 在 边所在直线上． （I）求 边所在直线的方程；（II）求矩形 外接圆的方程；（III）若动圆  过点 ，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．【解答】（I）因为 边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为 ．又因为点 在直线上，所以 边所在直线的方程为 ． ．（II）由  解得点 的坐标为 ，因为矩形 两条对角线的交点为．所以  为矩形外接圆的圆心．又  ．从而矩形 外接圆的方程为 ．（III）因为动圆 过点 ，所以 是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以  ，即  ．故点 的轨迹是以为焦点，实轴长为 的双曲线的左支．因为实半轴长  ，半焦距 ．所以虚半轴长  ．从而动圆 的圆心的轨迹方程为 ．64、（安徽理）如图，  和 分别是双曲线 的两个焦点，和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ 是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A）  （B） （C） （D） 【解答】如图， 和分别是双曲线 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴  ，双曲线的离心率为，选D。65、（安徽理）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .   【解答】如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A(1，0)，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－2Pn－1, ∴  ， ， ，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .整理得  = 。66、（安徽理）如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.  （Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式； （Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值. 【解答】本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分． 解：（Ⅰ）由题意知，  ．因为  ，所以 ．由于  ，故有 ． （1）由点  的坐标知，直线  的方程为 ．又因点 在直线上，故有 ，将（1）代入上式，得  ，解得  ．（Ⅱ）因为  ，所以直线 的斜率为 ．所以直线 的斜率为定值．67、（安徽文）椭圆  的离心率为（A）  （B） （C） （D） 【解答】椭圆  中， ，∴ ，离心率为，选A。68、（安徽文）设F是抛物线G:x2=4y的焦点. （Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程： （Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足  ,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.【解答】本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力． 解：（I）设切点  ．由 ，知抛物线在 点处的切线斜率为 ，故所求切线方程为 ．即  ．因为点  在切线上．所以  ， ， ．所求切线方程为  ．（II）设  ， ．由题意知，直线  的斜率 存在，由对称性，不妨设 ．因直线 过焦点 ，所以直线的方程为 ．点  的坐标满足方程组 得  ，由根与系数的关系知   ．因为  ，所以 的斜率为 ，从而的方程为 ．同理可求得  ． ．当  时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为 ．(责任编辑：admin) |