2007年高考数学试题汇编──数列（三）_高中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表总结-人教网-高中试卷网题库网-中学学科网

2007年高考数学试题汇编──数列（三）

http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社佚名参加讨论

    39、（陕西理）已知各项全不为零的数列{a_k}的前k项和为S_k,且S_k＝N^*),其中a₁=1.
    (Ⅰ)求数列{a_k}的通项公式;
    (Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{b_k}满足（k=1,2,…，n-1）,b₁=1.求b₁+b₂+…+b_n^.
    解：（Ⅰ）当，由及，得．
    当时，由，得．
    因为，所以．从而．
    ，．故．
    （Ⅱ）因为，所以．
    所以
    ．
    故
    ．
    40、（陕西文）已知实数列等比数列,其中成等差数列.
    (Ⅰ)求数列的通项公式;
    (Ⅱ)数列的前项和记为证明: ＜128…).
    解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，
    由，得，从而，，．
    因为成等差数列，所以，
    即，．
    所以．故．
    （Ⅱ）．
    41、（山东理）设数列满足，．
    （Ⅰ）求数列的通项；
    （Ⅱ）设，求数列的前项和．
    解：(I)



    　验证时也满足上式，
    (II) ，

            ，

    42、（山东文）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
    （1）求数列的等差数列．
    （2）令求数列的前项和．
    解：（1）由已知得
         解得．
         设数列的公比为，由，可得．
    又，可知，
    即，
    解得．
    由题意得．
    ．
    故数列的通项为．
    （2）由于
         由（1）得

         又
         是等差数列．


         故．
    43、（全国2理）设数列的首项．
    （1）求的通项公式；
    （2）设，证明，其中为正整数．
    解：（1）由
         整理得．
         又，所以是首项为，公比为的等比数列，得

         （2）方法一：
         由（1）可知，故．
         那么，

         又由（1）知且，故，
         因此      为正整数．
    方法二：
    由（1）可知，
    因为，
    所以      ．
    由可得，
    即
    两边开平方得    ．
    即   为正整数．
    44、（全国2文）设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
    解：由题设知，
    则    ②
    由②得，，，
    因为，解得或．
    当时，代入①得，通项公式；
    当时，代入①得，通项公式．
    45、（全国1理）已知数列中，，．
    （Ⅰ）求的通项公式；
    （Ⅱ）若数列中，，，
    证明：，．
    解：（Ⅰ）由题设：


    ，
    ．
    所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
    ，
    即的通项公式为，．
    （Ⅱ）用数学归纳法证明．
    （ⅰ）当时，因，，所以
    ，结论成立．
    （ⅱ）假设当时，结论成立，即，
    　　也即．
    　　当时，


    ，
    　又，
    　所以　　


    ．
    　也就是说，当时，结论成立．
    　根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．
    46、（全国1文）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
    （Ⅰ）求，的通项公式；
    （Ⅱ）求数列的前n项和．
    解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且
    　解得，．
    　所以，
    ．
    （Ⅱ）．
    ，①
    ，②
    　②－①得，


    ．
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