导数的综合应用
http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
【考题回放】 1．（06江西卷）对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1) f ¢(x) ³0，则必有（ C ） A． f(0)＋f(2)<2f(1) B. f(0)＋f(2) £2f(1) C. f(0)＋f(2) ³2f(1) D. f(0)＋f(2) >2f(1) 解：依题意，当x³1时，f ¢(x)³0，函数f(x)在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f ¢(x)£0，f(x)在（－¥，1）上是减函数，故f(x)当x＝1时取得最小值，即有f(0)³f(1)，f(2)³f(1)，故选C 2．（06全国II）过点（－1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为 （A）2x+y+2=0 （B）3x-y+3=0 （C）x+y+1=0 （D）x-y+1=0 解：y¢=2x+1，设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切线方程为y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得x0＝0或－4，代入可验正D正确。选D 3.（06四川卷）曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是 （A）y=7x+4 （B）y=7x+2 （C）y=x-4 （D）y=x-2 解：曲线y=4x-x3，导数y¢=4-3x2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f ¢(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个  解析：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f ¢(x)在(a,b)内的图象如图所示，函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ¢(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f ¢(x)=0可得x＝0或2（2舍去），当－1£x<0时，f ¢(x)>0，当0<x£1时，f ¢(x)<0，所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2。选C 6.（湖南卷）曲线  和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 .解析：曲线  和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是 .7.（安徽卷）设函数f(x)=x3+bx2+cx(xÎR)，已知g(x)= f(x)- f ¢(x)是奇函数。 （Ⅰ）求b、c的值。 （Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。 【解答】：（Ⅰ）∵f(x)=x3+bx2+cx，∴f ¢(x)=3x2+2bx+c.从而g(x)= f(x)- f ¢(x)= x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)＝x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0得c=0，由奇函数定义得b=3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)=x3-6x，从而g ¢(x)=3x2-6，由此可知，  和 是函数g(x)是单调递增区间； 是函数g(x)是单调递减区间；g(x)在  时，取得极大值，极大值为 ，g(x)在 时，取得极小值，极小值为 。 (责任编辑：admin) |