点列、递归数列和数学归纳法
http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
【考题回放】 1．已知数列{ an }的前n项和为Sn，且Sn=2(an -1)，则a2等于( A ) A. 4 B. 2 C. 1 D. -2 2．在数列  中， ，且  ，则 35 ．3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=__2 n+1-3___. 4．对正整数n，设曲线  在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前n项和的公式是 2n+1-2 . 5．已知n次式项式  .若在一种算法中，计算 的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P10（x0）的值共需要 65 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要 2n 次运算. 6．已知函数f (x)=  ，数列｜x ｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在 处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n  时， (Ⅰ) x （Ⅱ） . 【解答】(I)证明：因为  所以曲线  在 处的切线斜率 即  和 两点的直线斜率是 以 .（II）因为函数  ，当 时单调递增，而   ，所以  ，即 因此 又因为  令 则 因为  所以 因此  故 【考点透视】 本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则． 【热点透析】 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型： （1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力． （2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力． （3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列． 【范例讲解】 【范例1】已知数列  中，对一切自然数 ，都有 且 ．求证：(1)  ；(2)若  表示数列的前项之和，则 ．解析： (1)由已知 得 ，又因为 ，所以 , 因此 ，即．(2) 由结论(1)可知  ，即 ，于是  ，即 ．【点睛】从题目的结构可以看出，条件 是解决问题的关键，必须从中找出 和 的关系．【文】  记 （Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求数列  的通项公式及数列 的前n项和 解析（I）  整理得   （Ⅱ）由  所以   【范例2】设数列  的前项的和 ， （Ⅰ）求首项  与通项 ；（Ⅱ）设  ，，证明： 解析 (Ⅰ)由  ① 得  所以 再由①有  ②将①和②相减得:  整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, …, 因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即an+2n = 4×4 n－1= 4 n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, … (Ⅱ)   所以  =   =  < 【点睛】Sn与an始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧． 【文】设数列  的前n项和为Sn，若 是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.（１）求数列 的通项公式（用S1和q表示）；（２）试比较  的大小，并证明你的结论.解析（１）∵ 是各项均为正数的等比数列，∴ ．当n=1时，a1=S1； 当  ．∴  （２）当n=1时，  ∴ ．当  时，  ∵  ①当q=1时，  ②当   ③当   综上可知：当n=1时，  ．当 若  若 【范例3】由坐标原点O向曲线  引切线，切于O以外的点P1 ，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2 ），如此进行下去，得到点列{ Pn }}.求：（Ⅰ）  的关系式；（Ⅱ）数列  的通项公式；（Ⅲ）当  时， 的极限位置的坐解析（Ⅰ）由题得  过点P1（  的切线为  过原点  又过点Pn（  的 因为  过点Pn-1（  整理得   （Ⅱ）由（I）得  所以数列{xn-a}是以  公比为 的等比数列 （法2）通过计算  再用数学归纳法证明.（Ⅲ）    的极限位置为（ 【点睛】注意曲线的切线方程  的应用，从而得出递推式．【文】数列 的前项和为 ，已知 （Ⅰ）写出 与 的递推关系式 ，并求关于的表达式；（Ⅱ）设  ，求数列 的前项和 ．解析由  得 ，即  ，所以 ，对成立．由 ， ，…， 相加得  ，又 ，所以 ，当  时，也成立．（Ⅱ）由  ，得 ．而  ， ， .【范例4】设点  ( ，0)， 和抛物线 ：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－ ，由以下方法得到：x1＝1，点P2 (x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点  在抛物线：y＝x2＋an x＋bn上，点(，0)到 的距离是 到 上点的最短距离．(Ⅰ)求x2及C1的方程． (Ⅱ)证明{ }是等差数列．解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0), C1：y=x2-7x+b1. 设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|=  令f (x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2, 则  由题意得  , 即 又P2(x2,0)在C1上, ∴2=x22 -7x2+b1 解得x2=3, b1=14. 故C1方程为y=x2-7x+14. (Ⅱ)设P(x,y)是C1上任意一点,则 |AnP|=  令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则  ,由题意得,  ,即 =0,又∵  ,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1),即(1+2n+1)xn+1- xn+2 n an =0, (*) 下面用数学归纳法证明xn=2n-1. ① 当n=1时,x1=1,等式成立. ② 假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1. 则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, (*) 又ak=-2-4k-  ,∴ .即当n=k+1,时等式成立. 由①②知,等式对n∈N+成立,∴{xn}是等差数列. 【点睛】注意第（1）小题其实是第（2）小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段． 【文】已知数列 满足 （I）证明：数列  是等比数列；（II）求数列 的通项公式；（II）若数列 满足 证明是等差数列．解析（I）证明：     是以  为首项，2为公比的等比数列．（II）解：由（I）得    （III）证明：    ① ②②－①，得  即  ③ ④④－③，得  即   是等差数列．自我提升 1.设数列 的前n项和为，令 ，称为数列， ，…，的“理想数”，已知数列，，…， 的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为（A）(A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 2008 2. 数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n∈N*满足以下运算性质：(1) 2*2 = 1，(2) ( 2n + 2) * 2 = 3(2n * 2)．则2n*2用含n的代数式表示为 3n-1_ 3. 若数列{an}满足  若 ，则 的值为（ B ）(A)  (B)  (C)  (D)  4. 弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛，使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有(B) （A）0颗 （B）4颗 （C）5颗 （D）11颗 5. 一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是（ C） （A）P(3)=3 （B）P(5)=1 （C）P(101)=21 （D）P(103)<P(104) 6. 已知函数f(x) = 2x2－x,则使得数列{  }(n∈N+)成等差数列的非零常数p与q所满足的关系式为 .p=-2q7. (理)已知x轴上有一点列：P1(x1,0), P2(x2,0), …,Pn(xn,0),…点Pn+2分有向线段  所成的比为λ，其中n∈N*，λ>0为常数，x1=1, x2=2.（1）设an=xn+1－xn，求数列{a n}的通项公式； （2）设f (λ)=  x n，当λ变化时，求f (λ)的取值范围.解析（1）由题得   ∴{an}是首项为1，公比为 的等比数列，∴   ∴当λ>0时  (文) 设曲线与一次函数y＝f（x）的图象关于直线 y＝x对称，若f (-1)=0，且点  在曲线上，又a1= a2．（1）求曲线C所对应的函数解析式； （2）求数列{a n}d的通项公式． 解析：（1）y＝x-1 (2) a n＝（n－1）！ 8．（理）过P（1，0）做曲线C：y=xk(xÎ(0,+¥),kÎN+，k>1)的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为an，求证： （Ⅰ）数列{an}是等比数列； （Ⅱ）  ；（Ⅲ）  解：（Ⅰ）  若切点是 ，则切线方程为  当  时，切线过点P（1，0）即 得 当  时，切线过点 即 得 ∴数列  是首项为 ，公比为的等比数列.  …6分（Ⅱ）   （Ⅲ）记  ，则  两式相减   （文）已知曲线C：xy=1，过C上一点  作一斜率为 的直线交曲线C于另一点 ，点列 的横坐标构成数列{ }，其中 ．（1）求 与 的关系式； （2）求证：{ }是一等比数列.解析：（1）过C：  上一点作斜率为 的直线交C于另一点 ，则  ，于是 ． （2）记  ，则 ，因为  ，因此数列{ }是等比数列．注：以上答案均为参考答案 (责任编辑：admin) |