第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题（二）_高中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表总结-人教网-高中试卷网题库网-中学学科网

第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题（二）

http://www.newdu.com 2025/05/26 01:05:35 人民教育出版社佚名参加讨论

    第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题（二）
    三、解答题
    11.(2012上海理改编)如图，在四棱锥中，底面是矩形，是四棱锥的高，是的中点，已知，，，求：
    ⑴四棱锥的体积；
    ⑵异面直线与所成的角的大小.
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    考查目的：考查异面直线所成角的概念及其求法.
    答案：⑴，⑵.
    解析：⑴根据题意四棱锥的体积.⑵取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，∴∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.连结AC.在直角△AEF中，，∴.在△AEF中，，，AE=2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=，∴异面直线BC与AE所成的角大小为.
    12.(2011湖南文)如图，在圆锥PO中，已知，⊙O的直径AB=2，点C在上，且，D为AC的中点.

    ⑴证明：AC平面POD；
    ⑵求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.
    考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角的计算，以及空间想象能力.
    答案：⑴略，⑵.

    解析：⑴∵OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O，底面⊙O，∴AC⊥OD.PO是平面POD内的两条相交直线，∴AC⊥平面POD.
    ⑵由⑴知，AC⊥平面POD.又∵，∴平面POD⊥平面PAC.在平面POD中，过O作OH⊥PD于点H，则OH⊥平面PAC.连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，∴∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角.在中，；在中，.
    13.(2010陕西文)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点.
    ⑴证明：EF∥平面PAD；
    ⑵求三棱锥E—ABC的体积V.

    考查目的：考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积计算.
    答案：⑴略；⑵.
    解析：⑴在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又∵BC∥AD，∴EF∥AD，∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.
    ⑵连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则BG⊥平面ABCD，且.在△PAB中，AD=AB，，BP=2，∴，.∴，∴.

    14.(2010四川理)已知正方体的棱长为1，点M是棱的中点，点O是对角线的中点.
    ⑴求证：OM为异面直线和的公垂线；
    ⑵求二面角的正切值.

    考查目的：考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，空间想象能力和逻辑推理能力.
    答案：⑴略；⑵.
    解析：⑴连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK.∵M是棱的中点，点O是的中点，∴，∴

.
由⊥AK，得MO⊥.∵AK⊥BD，AK⊥，∴AK⊥平面，∴AK⊥，∴MO⊥.又∵OM与异面直线和都相交

，
∴OM为异面直线和的公垂线.
⑵取中点N，连结MN，则MN⊥平面.过点N作NH⊥于H，连结MH，则由三垂线定理得⊥MH，从而，∠MHN为二面角的平面角.MN=1，.在Rt△MNH中，

，
∴二面角的正切值大小为.

15.(2012湖南理)如图，在四棱锥中，⊥平面，，，，，是的中点.
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    ⑴证明：CD⊥平面PAE；
    ⑵若直线与平面成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积.
    考查目的：考查直线与平面垂直的判定，直线和平面所成角的运用，体积计算以及综合运用立体几何知识解决问题的能力.
    答案：⑴略；⑵.
    解析：⑴连接，由，，，得.又∵，Ｅ是的中点，∴.∵，∴.而是平面内的两条相交直线，∴⊥平面.