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因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题) x-2x-x=x(x-2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题) 解：a+4ab+4b=（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m+5n-mn-5m 解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n =(m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x-19x-6 分析：1-3 72 2-21=-19 解：7x-19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x+3x-40 解x+3x-40=x+3x+()-()-40 =(x+)-() =(x++)(x+-) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b) 7、换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x-x-6x-x+2 解：2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x =x[2(x+)-(x+)-6 令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6 =x[2(y-2)-y-6] =x(2y-y-10) =x(y+2)(2y-5) =x(x++2)(2x+-5) =(x+2x+1)(2x-5x+2) =(x+1)(2x-1)(x-2) 8、求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,……x,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x) 例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6 解：令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1 则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x,x,x,……x，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x)(x-x)(x-x)……(x-x) 例9、因式分解x+2x-5x-6 解：令y=x+2x-5x-6 作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2 则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b) 分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 解：a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb) =(b-c)[a-a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、利用特殊值法 将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x+9x+23x+15 解：令x=2，则x+9x+23x+15=8+36+46+15=105 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则x+9x+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例12、分解因式x-x-5x-6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 解：设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d) =x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd 所以解得 则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4) (责任编辑：admin) |