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（3） 原命题即为“若sinα≠，则α≠30°”，逆命题为“若α≠30°，则sinα≠”，否命题为“若sinα=，则α=30°”，逆否命题为“若α=30°，则sinα=”.直接判断原命题与逆命题真假有些困难，但考虑到原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，因此可以先考虑逆否命题和否命题；由三角函数的知识，可知原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题. 突破 对于判断命题的真假，我们需要先弄清何为条件、何为结论，然后根据相应的知识进行判断，当原命题不容易直接判断时，可以先判断其逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性. 2. “充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断 例2 在下列命题中，判断p是q的什么条件.（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种） （1） p:|p|≥2，p∈R；q:方程x2+px+p+3=0有实根. （2） p：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切；q：c2=（a2+b2）r2，其中a2+b2≠0，r≠0. （3） 设集合M={x|x＞2}，N={x|x＜3}，p：x∈M∩N；q:x∈M∪N. 解析 （1） 当|p|≥2时，例如p=3，此时方程x2+px+p+3=0无实根，因此“若p则q”为假命题；当方程x2+px+p+3=0有实根时，根据判别式有p≤-2或p≥6，此时|p|≥2成立，因此“若q则p”为真命题.故p是q的必要不充分条件. （2） 若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，则圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，化简可得c2=（a2+b2）r2，因此“若p则q”为真命题；反过来，由c2=（a2+b2）r2，可得r=，即圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离等于r，由解析几何知识得圆与直线相切，因此“若q则p”为真命题.故p是q的充要条件. （3） M∩N=（2，3），M∪N=R，若x∈（2，3），此时显然有x∈R，因此“若p则q”为真命题；反过来，若x∈R，例如x=5，此时x?埸（2，3），因此“若q则p”为假命题.故p是q的充分不必要条件. 突破 ①从逻辑的观点理解：判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性，若“若p则q”为真命题，则p是q的充分条件；若“若q则p”为真命题，则p是q的必要条件；若两者都是真命题，则p是q的充要条件；若两者都是假命题，则p是q的既不充分也不必要条件.②从集合的观点理解：建立命题p，q相应的集合. p：A={x|p（x）成立}，q：B={x|q（x）成立}.那么:若A?哿B，则p是q的充分条件；若B?哿A，则p是q的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.若A?芫B且B?芫A，则p是q的既不充分也不必要条件. 例3 已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1. 解析 充分性:当q=-1时，a1=p-1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）.于是当n≥1时，=p，即数列{an}为等比数列. 必要性：当n=1时，a1=S1=p+q；当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =pn-1（p-1）.因为p≠0且p≠1，于是=p.又因为数列{an}为等比数列，所以==p，即=p，解之得q=-1. 综上所述，q=-1为数列{an}为等比数列的充要条件. 突破 证明p是q的充要条件需要分两步：①充分性，把p作为已知条件，结合命题的前提条件，推出q；②必要性，把q作为已知条件，结合命题的前提条件，推出p.最后综上所述，可得p是q的充要条件.特别注意:充分条件的意义只在于保证结论成立，而不管它对结论成立是否必要；必要条件的意义只在于要使结论成立它必不可少，而不管它对结论成立是否充分.因此，在进行恒等变形或探求充要条件的过程中，只注意推导过程的充分性，其结果有可能缩小范围；只注意推导过程的必要性，其结果有可能扩大范围. 3. “简单逻辑联结词”的难点在于复合命题的真假性判断以及“命题的否定”与“否命题”的区分 例4 指出下列命题的真假. （1） -1是奇数或偶数； （2） 属于集合Q，也属于集合R； （3） A?埭（A∪B）. 解析 （1） 此命题为“p或q”的形式，其中p：-1是奇数；q：-1是偶数.因为p为真命题，所以原命题为真命题. （2） 此命题为“p且q”的形式，其中p：属于集合Q；q：属于集合R.因为只有q为真命题，所以原命题为假命题. （3） 此命题为“非p”的形式，其中p：A?哿（A∪B）.因为p为真命题，所以原命题为假命题. 突破 判断如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假时，首先要确定命题的构成形式，然后判断其中各简单命题的真假，最后再利用真值表判断复合命题的真假. 例5 写出下列各命题的否定和否命题. （1） 若x+y是偶数，则x，y都是奇数； （2） 若xy=0，则x=0或y=0. 解析 （1） 命题的否定：若x+y是偶数，则x，y不都是奇数；否命题：若x+y不是偶数，则x，y不都是奇数. （2） 命题的否定:若xy=0，则x≠0且y≠0；否命题:若xy≠0，则x≠0且y≠0. 突破 命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设，又否定结论.需注意“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”而不是“x≠0或y≠0”；“x，y都是奇数”的否定是“x，y不都是奇数”而不是“x，y都不是奇数”. 4. “全称量词与存在量词”的难点在于全称命题和存在性命题的真假性判断以及含有一个量词的命题的否定 例6 判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，并判断真假. （1） 有一个实数α，tanα无意义； （2） 任何一条直线都有斜率； （3） ?埚x＜0，使x2+x+5＜0； （4） 自然数的平方是正数. 解析 （1） 存在性命题，当α=时，tanα无意义，因此原命题为真命题. （2） 全称命题，当倾斜角为时，该直线斜率不存在，因此原命题为假命题. （3） 存在性命题，由判别式可知Δ=1-4×5=-19＜0，所以对?坌x∈R，x2+x+5＞0，因此原命题为假命题. （4） 全称命题，存在自然数0，其平方不是正数，因此原命题为假命题. 突破 ①要判定全称命题“?坌x∈M，p（x）”为真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）成立；如果集合M中找到一个元素x0，使得p（x）不成立，那么这个全称命题为假命题.②要判定存在性命题“?埚x0∈M，p（x）”为真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p（x0）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么这个存在性命题是假命题. 例7 写出下列命题的否定. （1） 面积相等的三角形是全等三角形； (责任编辑：admin) |