【趣味数学】用数学的方法算一算：你何时能遇上真爱？
一位艺术家问他的一位数学家朋友：“数学家每天都在忙些什么呢？”这位数学家决定写本书来回答。他希望给读者提供一个崭新的视角，重新了解和欣赏数学的美，告诉大家“迈克尔·乔丹的灌篮如何完美地诠释了微积分的原理”、“怎样翻转床垫才能最大化地延长床垫的寿命”、“结婚之前，到底谈多少次恋爱才最合理”……他说，我们的生活中充满了数学，是否能看到它们，取决于你有没有一双善于发现的眼睛。
这位数学家就是美国康奈尔大学的应用数学系教授史蒂夫·斯托加茨，而这本书则是今年4月出版的《X的奇幻之旅》。以下摘自此书部分内容分享，看看数学如何无处不在。
算一算
股票是赔还是赚？老婆太小还是太老？
算术是不断寻找更全面、更完美的数字的过程。如果我们只满足于数数，满足于加法和乘法运算，那么自然数，也就是1、2、3……已足够用了。但是，聪明的人类绝不会满足于此。于是有了“零”，又有了“负数”、“分数”、“小数”和“百分数”……而“代数”更是一个令很多人头痛不已的科目：复杂的符号、定义、解法，通通混在一起，令人头晕目眩、无所适从。但是，它们的本质其实都很简单，它们之所以会出现，就是因为我们在日常生活中常常不自觉地使用到。
就算是一种很特殊的公式——恒等式，在生活中也经常被用到。比如你可以快速地心算出48的平方数——你只要先计算50的平方数，也就是2500，然后算出50和你所要计算的数字的差，用这个差乘以100。再用2500减去这个乘积就可以了。这样要算48的平方数，就用50减去48等于2，再用2500减去200，即得出2300。这里就用到了恒等式：
（50＋X）2=2500＋100X＋X2
任何投资股市的人也都可能会用到恒等式。假设某一年间股市低迷，你的投资组合惨痛地缩水50%，然后第二年股市反弹，你的投资组合又涨了50%，那么你最终是赚了还是赔了呢？答案是，最终你的投资组合和两年前的初始价值相比仍然赔掉了25%。原因就在于，第一年你的投资组合跌了1/2，年末价值是初始值乘以0.5。第二年股价又上升了50%，所以第二年年末的最终价值等于第一年年末价值乘以1.5。最终，你的投资组合的价值是初始值乘以0.5，再乘以1.5，也就是初始值的0.75。事实上，如果你的投资组合在两个相邻的年份中一赔一赚，那么不管你是先赔再赚还是先赚再赔，只要赚和赔的比率数值一样，最后算算净值，你一定还是赔钱的。因为我们有如下这样一个恒等式：
（1－X（1＋X）=1－X2
不过，代数这些公式有时也是武断和没有道理的。比如，有种观点认为，情侣之间的年龄差距不应该过大。到底年龄差距多大算是过大呢？有网站竟给出了这样一个“魔法公式”：如果你的年龄是X，那么你的恋人的年龄必须大于X/2＋7。按这种算法，如果一位82岁的老先生想追求一位小于48岁的中年女士，就已经是不合适了……只是，姻缘到底合不合适，还得当事人说了算吧？
算一算
冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间？
宇宙万物的内在逻辑，都可以用数字与数字之间的关系来表示。比如因与果、供与求、输入和输出、措施和效果。我们应该学习和训练自己的这种能力，学会思考和分析数字与数字之间的关系。
比如我们可能都曾遇到过这样一道很经典的应用题：如果只开冷水龙头，灌满浴缸需要半个小时；如果只开热水龙头，灌满浴缸需要1个小时。问：如果把冷水龙头和热水龙头同时打开，灌满浴缸需要多长时间？
我们最初听到这道题，脑袋一定像那个浴缸一样，混乱一片，摸不着头绪。
但数学家会轻松地解答：冷水龙头30分钟能灌满浴缸，也就是说每分钟可以灌满浴缸的1/30；而热水龙头要60分钟才能灌满浴缸，也就是说，热水龙头每分钟可以灌满浴缸的1/60。那么，如果把冷水龙头和热水龙头同时打开，每分钟可以灌满浴缸的1/20。答案很快便浮出水面，即20分钟可以灌满整个浴缸。
这种解法不仅涉及分数，还用到了最小公倍数的知识。但这道题还有别的更有意思的解法。比如，假设现在不只是有一个浴缸和两个水龙头，我们用一冷一热两个水龙头分别给几个浴缸灌水，60分钟以后，热水龙头正好灌满了1个浴缸，而冷水龙头显然已经灌满了2个浴缸。也就是说，两个水龙头同时打开，60分钟共计灌满了3个浴缸。那么灌满一个浴缸需要多长时间呢？当然是60分钟的1/3，也就是20分钟。
这道题再延展开去，可能又出现这样一道题：一位老奶奶要过马路，如果无人帮助，她需要耗时60秒钟；而你单独过马路只要30秒钟，如果要你去搀扶老奶奶一起过马路，需要多长时间呢？这个题目的答案是45秒钟。
这个问题与浴缸的问题看上去很相似，但它们又有本质的区别：在浴缸问题中，两个水龙头虽然同时在放水，但灌水速度完全不受对方影响；而你和老奶奶却是互相影响着对方的。
我们通常会因为直觉自动开启了“模式识别”的功能，对这两道题给出同样的答案，但显然这个“模式”是靠不住的，因为我们的潜意识通常没有那么敏锐，无法第一时间发现其中那个重要区别。
很多应用题的问法中都故意埋藏了一些文字陷阱，如果你凭直觉回答，就会掉入这些陷阱。比如这样一道题目：3个人可以在3小时内漆完3段篱笆，那么1个人漆完1段篱笆需要几个小时呢？很多人可能会脱口而出：“1个小时。”而正确答案是“3个小时”。
这道题因为读起来跟顺口溜似的，很容易地在你的脑海中建立起了一个鼓点般的韵律，这种条件和问题的“平行”结构使得人们很容易给出一个在语言音律学上感觉正确、但是数学计算上却完全错误的结论。
能不被表象所迷惑，冷静客观地审题，才是答对本题的关键。这种能力其实就可以通过数学课反复训练而来。
算一算
如何翻转才能使床垫磨损率最小？
著名物理学家理查德·费曼有一则逸事：他在入伍体检时，需要通过精神科医生的检查。当医生让费曼把手伸出来给他看，费曼立刻伸出的双手，是一只手手掌朝上，另一只手手背朝上。医生说：“不是这样，把手翻过来。”费曼闻声又把双手都翻了过来，还是一只手手掌朝上，另一只手手背朝上。这显然是个恶作剧。但只有懂得“群论”的理科生才能体会其中的幽默。
“群论”是指针对一些数学行为的集合展开的讨论。其实你可能经常这么做——因为它讨论的是科学和艺术的一个共同的主题：对于“对称”的永恒追求与热爱。更准确地说，“群论”讨论的是这样一个问题：在一定限制条件下，有多少种方式可以转化一个形状，但这个形状的本质却保持不变？这些转化的方式，就叫做这个形状的“对称性”。这些转化方式的集合形成一个“群”后，“群”的性质便定义了这个形状的最本质特征。
美国的一位科普作家布莱恩·海斯在《卧室中的群论》一书中就是利用群论的方法，讨论关于如何定期翻转床垫才是最佳的？怎么翻转才能让床垫的磨损最均匀呢？
床垫制造商会建议顾客定期翻转床垫，以使床垫的磨损更加均匀，这能延长床垫使用寿命。但对于一个床垫来说，我们只可以通过一些转化方式，改变床垫在空间中的方向，最终这些转化仍然必须保持床垫的形状不变。有了这些条件，便形成了一个有规则和规律的“群”。
事实上，只有4种方式是符合上述条件的：第一种方式是什么也不做。虽然它对延长床垫的寿命毫无帮助，但我们仍然必须把它视作这个“群”的一个元素。这种什么都不做的转化方式就像“加法中的0”或“乘法中的1”一样重要，数学家们称它为“单位元素”，符号为I。另外3种翻转床垫的方式还包括：“水平翻转”、“竖直翻转”以及保持床垫正面朝上，把它旋转半圈，让床头变成床尾、床尾变成床头的“旋转翻转”。
这4种转化方式之间的关系，反映出床垫这个物体的对称性质。注意，在这个“群”中，任何两种转化方式的先后顺序都可以互相交换，转化的结果却保持不变，这其实也是“加法交换率”的一种更广义的形式。
那么，到底怎样翻转床垫才能使磨损最为均匀？答案是，只要周期性地调整床垫的状态，让床垫处于这4种状态的时间相等就可以了。
但这里用到的“群论”的魅力在于，它把很多外表看来毫无联系的事物的本质挖掘出来，让我们知道这些风马牛不相及的事情其实具有相同的抽象本质。比如，床垫的翻转、一组电器开关状态的变化逻辑，以及水分子的对称性，其实都可以用上面的这个“群”来表示。
当然，我如此举例说明，只是想说数学在我们的生活中无处不在，但如果你觉得用“群论”的方法来解决床垫问题，未免太令人头晕了，也可以回归一个简单的真理：如果有什么数学问题或者事情让你感到烦恼，最好的解决方法就是先放下它，倒头大睡一场再说。
算一算
结婚前，你谈几场恋爱才合适？
在数学中，有些数字特别有名，它们有自己专属的符号。比如圆周率π，π这个数字写成小数的话就是3.14159……此外，还有比较知名的就是虚数i、代表指数增长的e，等等。
以e为例。这个世界上，几乎你能想到的地方以及你想不到的地方，全都有e的身影。e不仅可以用来描述核能源的链式反应和人口爆炸，还能告诉你结婚之前交往多少个女友（男友）最合适。
e的数值是2.71828……它是一个无限数列的和。为了给大家一个直观印象，我们先来看看e的应用。假设你把1000美元的本金存入银行，银行慷慨地承诺给你100%的年利息，每年复利一次。一年以后，你的账户里已经有2000美元的资金了。如果利率保持不变的话，你要求改为每半年复利一次——6个月之后，银行便付给你50%的利息——那么一年后，你的1000美元的本金就能变成2250美元。与每年复利一次的情况相比，每半年复利一次可以让你一年多赚250美元。如果你继续要求更改复利频率，比如每天复利一次、每秒复利一次……你是不是就发财了呢？结果是你也许会多了一些收益，但其实也多不了太多，在连续复利的情况下，你的收益数字正好等于1000美元乘以e——这就是一个典型的微积分方程式。
当我们计算很多微小事件带来的总体变化的时候，e的身影往往就会出现。比如在考虑世界人口的增长问题时。比如我们想针对时间上或者空间上的位置来计算我们的婚姻——结婚之前，谈几场恋爱最合适的时候。
从时间上来计算“你何时能遇到真爱”的方法是这样的：首先，我们假设你知道你的一生中一共可以遇见多少位潜在的人生伴侣。这个数字具体是多少并不重要，重要的是，第一，你事先知道这个数字；第二，这个数字不会太小。此外，我们还要假设，如果你能同时遇见你所有的潜在人生伴侣，那么你可以立刻明确地将这些人进行排序——但人生的悲剧就在于，没有人可以同时遇见自己所有的潜在人生伴侣，我们总是以一种完全随机的顺序，一个一个地遇到他们（她们）。所以，我们永远不知道，最合适的那个人是否即将出现在下一个街角，还是我们早已经遇到过他（她），却又永远地错过了。
最后，我们假设你是一个完美主义者：你的目标是和你最满意的那个人，即你的列表上排名第一的那个人结婚。如果做不到这一点，我们就判定你的婚姻失败了。哪怕你是和列表上排名第二的那个人结婚了，你还是一个失败者。
试问：在这样的假设条件下，你有可能找到那个你最满意的人吗？如果有可能，怎么做才能让你成功的机会最大化呢？
一种比较好的策略是：把你的爱情和生活划分成上下两个半场。上半场完全用来积累经验；在下半场中，你才开始认真地寻找伴侣。这个策略让你至少有1/4的概率遇到最合适的那个人。为什么呢？首先，最合适的那个人可能在上半场出现，也可能在下半场出现，概率各为50%。同样，第二合适的那个人出现在上下半场的可能性也各占50%。这种情况下，只要你严格执行上述策略，你就一定会和最合适的那个人结婚。第二合适的人出现在你人生的上半场，而你的人生中只有一个人比他（她）更适合你，这个人就是最适合你的人，只有这个人在下半场出现的时候，你才会决定结婚，所以在这种情况下，你是一定会成功的——在游戏人生的青春岁月里，遇见一个高质量的另一半真是何其幸运！
但这并不是最优策略。最优策略是上半场的用时比下半场稍微短一些，让上半场占你整个恋爱时间的1/e，也就是大约37%的时间。根据我们的模型，这个策略是最优的婚恋策略。如果你严格采用这个策略，你和最佳伴侣结婚的概率是1/e。
当然，如果你的最佳伴侣也在玩这种跟e有关的游戏，那一切可就说不准了。
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