|
由摆球半径太大产生的疑问 江苏省洪泽中学 程如林 在高中物理“单摆”一节的教学中，经常会遇到部分老师和学生提出这样的观点：对单摆周期公式  来说，摆长l是悬点到球心之间的距离，当摆球的质量分布均匀时，无论摆球半径多大，只要悬点到球心之间的距离不变，单摆的摆长就不变，从而单摆的周期就不变，所以，单摆周期与摆球半径大小无关。情况果真如此吗，笔者对此产生了疑问，并进行了深入探讨。 疑问1 若摆球半径太大，还是单摆吗？ 在中学物理教材中，对单摆作了这样的描绘：如果细线的质量与小球质量相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆，如图1所示。根据这种描述，我们可以把单摆简化为这样的理想模型：一根没有质量且长度不变的细线下悬挂一个质点，该质点在重力的作用下绕O点作微小振动。  如果摆球半径太大，如图2所示，则其直径与线的长度相比就不能忽略，摆球就不能视为单个质点，这时摆球内有无数个质点在绕O点振动，这种摆在物理上叫复摆。复摆的理想模型是：一个刚体（内含无数个质点）在重力作用下绕某一固定轴作微小摆动。 所以，若摆球半径太大，则“单摆”就变成了复摆。 疑问2 若摆球半径太大，还是简谐振动吗？  当摆球半径太大时，摆球不能视为一个质点，而应视为一个刚体，如图3所示，令C为该刚体的质心，质心C与转动轴O之间的距离为  ， 为其摆动角度。若规定右转角为正，因为刚体所受力矩与角位移方向相反，则有 ①根据刚体的转动定律，有  ②其中  为刚体绕O轴的转动惯量。由①②式得 ③令  ，则③式变为 ④当  很小时，近似有 ，从而④式变为 ⑤由高等数学知⑤式是表示简谐振动的微分方程，所以，即使摆球半径太大，只要在小角度下，仍作简谐振动。 疑问3 若摆球半径太大，周期还是 吗？由前面的表达式 可知，该复摆的振动周期为 ⑥设  为该刚体对通过质心的平行轴的转动惯量，那么根据平行轴定理可得 ⑦将⑦式代入⑥式得  ⑧可见，当摆球半径  太大时，周期 综上所述可知： ⑴若摆球半径较小，与线长相比可忽略，则系统为单摆，此时  ，由⑧式得周期为 ，摆球半径大小对周期的影响忽略不计；⑵若摆球半径太大，与线长相比不能忽略，则系统为复摆，周期为  ，摆球半径大小对周期的影响不能忽略不计。参考文献： [1] 赵景员，王淑贤．力学． 北京：人民教育出版社，1979 (责任编辑：admin) |