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铅球的最佳抛射角和最少出手速度 山东省莱阳九中南校物理组 王淑海 日常生活中，常见到斜抛物体的运动现象，如体育中的投掷铁饼、铅球、链球等物体的运动都是常见的斜抛物体的运动现象，下面在学习匀变速直线运动规律的基础上，进一步研究一下匀变速曲线运动的一种特殊运动──斜抛物体的运动规律。 研究曲线运动的方法：我们是在认识匀变速直线运动的位移公式、速度公式的基础上进一步认识匀变速曲线运动规律的，可用一个式子概括如下： 直线运动规律+运动合成与分解原理=曲线运动规律 牛顿第一定律告诉我们：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力使它改变这种状态。牛顿第一运动定律表明，物体具有保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质，我们把这个性质叫做惯性。牛顿第一定律又叫做惯性定律。对物体的惯性我们可用下面的插图来理解。  在光滑的水平面上，一辆匀速运动的小车上，车上一人竖直上抛一小球，小球因惯性在水平方向做匀速直线运动，经过一段时间后小球又回到了手中。这样可以理解水平方向上小球具有保持原来的匀速直线运动状态的属性，即惯性。 通过这幅图可以理解斜抛运动：可以看作水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动的合运动。 在实际生活中我们可以这样做实验来验证，自制一个毽，毽内装有小量豆子，然后骑上一辆自行车，保持自行车做匀速直线运动后，相对于车竖直上抛手中的毽，经过一段时毽又回来了骑车人的手中。 斜抛运动的原理： （一）斜抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动，和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。 （二）斜抛运动还可以看作沿初速度  方向的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动的合运动。对原理二可以这样理解：假设没有地球引力的作用，抛出的物体将沿初速度方向因惯性作用保持匀速直线运动而实际地球的吸引力是存在的，故由于地心引力的作用抛出的物体在竖直方向上将作自由落体运动。 对斜抛原理（二）可以用枪击落猴实验来证明如图所示：一枝带有激光锚准仪的枪对准树上的猴子后，发射实弹一发，猴子闻声自由下落，在A的正下方B点子弹刚好击中。  一、已知投掷铅球时的出手高H为1．8m，出手速度V0是14m/s，试问：推铅球时的水平最大射程是多少？相应的最佳抛射角是多少？ 根据斜抛原理知：斜抛运动可以看作沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动，可以做出速度矢量三角形如图所示：因为速度变化量  ，所以根据三角形面积公式得：   又因为斜抛运动可以看作水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动的合运动。所以水平方向上的位移为 X=Vxt =V0cosβ．t ……（2） （2）代入（1）得：  根据机械能守恒定律知：  代入（3）式得： 讨论当：  即初速度与末速度垂直时X有极大值存在。所以水平距离X存在极大值时，速度矢量三角形是一个直角三角形。  所以  结论： （ Ⅰ） 将初速度为14m/s、出手高度1．8m当地的重力加速度为9．8m/s2，根据上式编程计算如下： 为了编程方便，用V代替V0，用B代替  以下相同，用QASIC语言编程如下：INPUT “V,H,G=”；V,H,G X=V*SQR（V^2+2*G*H）/G B=ATN（V/SQR（v^2+2*G*H）） B=B*180/3．1415926 PRINT “X=”；X,“B=”；B END RUN V,H,G？14,1．8,9．8 X=21．72556 B=42．63188（以十进制的度、分、秒表示） 结论：水平最大射程为21．73m，相应的最佳出射角为  二、已知投掷铅球的最好成绩水平方向的最大距离X，和一定的出手高度H，问：要创造此成绩需要最小出射速度V0和相应的最佳出射角 是多少？解：由斜抛运动的原理知：斜抛运动可以看作沿初速度 方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动。作位移知量三角形如图所示：  由正弦定理知：  —（1）  ──（2）讨论：当高度H一定，水平最大位移X一定时则倾角  ，又因为最小出手速度V0一定，所以抛出点与落地点的位移S仅随而变化。令：  则：  当  时S有极值存在    故  ──3时S有极值存在。又  所以 时有极大值存在。3式代入2式得：  所以对斜下抛运动，已知水平最大射程X和出射高度H 可以计算出斜下抛运动的最小出射速度V0和最佳出射角 得公式。结论：   其中  （Ⅱ）应用： 已知中国李梅素创造的亚洲女子铅球（4kg）的纪录为21．76m,假设当地的重力加速度为9．8m/s2，出手高度为2m，试求最小出手速度和最佳出射角 根据上面的公式为编程方便用B代替最佳抛射角β，用QBASIC语言编程如下： INPUT “X,H,G=”；X，H，G S=SQR（X^2+H^2） B=3．1415926/4-1/2*ATN（H/X） V=SIN（B）*SQR（2*G*S） B=180*B/3．1415926 PRINT “B=”；B,“V=”；V END X,H,G？ 21．76,2,9．8 B=42．3743 V=13．948（m/s） 说明B=42．3742 是以十进制的度、分、秒来表示的如果转化成60进制的度、分、秒则是B=  结论：铅球的最佳出射角是 ，最小出手速度是13．95m/s如果投掷铅球时当地的重力加速度是9．80m/s2,出手高度是1．8m或1．7m，相应的最大水平射程分别为8m、9m、10m、11m、12m、13m、14m、15m、16m、17m、18m、19m、20m、21m、22m、23m则相应的最小出手速度和最佳出射角编程计算如下： h=1．8m g=9．80m/s2
H=1．70m g=9．80m/s2
根据上面计算可以得出这样一个结论：（1）投掷铅球时以  ~ 度角为最佳出射角，或者说，推铅球时，以略小于 角来投掷为最佳出射角。（2）最佳出射角随出手速度的增大而增大；随出手高度增大而减少。
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