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抓典型 熟方法──直线运动中的典型问题及解法 江苏省靖江市季市中学 范晓波 直线运动部分的概念多、公式多、规律多，实际问题的情境千变万化，但若能透过现象看本质，将会发现在众多的“变幻”中，无非是四类典型问题在变换、重组，掌握这四类典型问题的处理策略后自然能以不变应万变。 一、初速度为0的匀加速直线运动问题 此类问题的基本解题策略是：在不能利用比值规律处理的情况下，应设法将中间位置或中间小过程与起点相联系，这样可以让绝大多数运动规律形式得到简化。 例：物体从光滑的斜面顶端由静止开始匀加速下滑，在最后1s内通过了全部路程的一半，则下滑的总时间为多少？ 分析：物体运动的典型特征为  ，最后1s刚好是一段中间过程。 解：如图所示，有  而  由于  解得：  说明：末速度为0的匀减速直线运动在变换成反方向的初速度为0的匀加速直线运动后可以采用同样的方法处理。 二、不同性质的直线运动过程相连接的问题 指匀速、匀加速、匀减速直线运动中的两个或三个组合在一起。此类问题的解题策略是：紧扣转折点速度。因为它既是前一运动阶段的末速度，又是后一运动阶段的初速度，找到它可以最大程度增加已知信息，对解题极为有利。 例：质点由A点出发沿直线AB运动，行程的第一部分是加速度大小为a1的匀加速运动，接着做加速度大小为a2的匀减速运动，到达B点时恰好速度减为零。若AB间总长度为S，试求质点从A到B所用的时间t。  分析：整个运动过程由匀加速、匀减速两个阶段组成。基本解题思路是先找到转折点速度，再利用平均速度关系式或速度公式求时间。 解：设第一阶段的末速度为V 则由题意可知：  解得：  而 所以  说明：只要涉及不同性质的直线运动，不管题中待求量是什么，解题的首要任务都应该是求出转折点速度。 三、运动性质多变或周期性变化的问题 此类问题牵涉的运动阶段较多，传统的分析方法过于繁琐，而且容易导致思维混乱。若能首先描绘出物体的  图像，那么就可以从全局上把握住运动的特点，原本复杂的运动过程也变得形象、具体。例：一个物体原来静止在光滑的水平地面上,从  开始运动，在第1、3、5……奇数秒内，给物体施加方向向北的水平推力，使物体获得大小为 的加速度，在第2、4、6……偶数秒内，撤去水平推力，向经过多长时间，物体位移的大小为 ？分析：物体运动性质周期性变化，因此先描绘出运动物体的 图像。如图所示，从图线下方所围图形的面积关系可以看出，每一秒内物体运动的位移大小构成等差数列，所以可以结合等差数列的求和公式进行求解。 解：物体在第1S内的位移为  由等差数列的求和公式得n（n为正整数）秒内物体的总位移  解得：8<n<9，表明该位移不能在整数秒内完成，实际运动时间应该在  之间。而物体在前8S内的位移为  ，且 设物体在剩余  内所用时间为 由于  ，解得： 所以物体完成40．25m的位移总共所用的时间为  说明：运动性质周期性变化的问题借助图像处理，方便快捷。其他运动性质非周期性变化的问题（包括不同性质的直线运动过程相连接的问题）借助图像处理，优点同样明显。 四、追及和相遇问题 此类问题由于涉及的运动物体不止一个，运动性质也往往不同，处理起来有一定的难度，但只要掌握正确的方法，还是可以化难为易，顺利解决的。该类问题解题的一般策略是： （一）若两个物体在同一直线上运动 1．明确每个物体的运动性质，画出运动过程示意图； 2．利用两者的位移关系列方程； 3．结合时间关系、速度关系解方程。 其中两者速度相等是两物体能否相遇或距离取极值的重要临界条件。 例：火车以速度  匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距 处有另一火车沿同方向以速度 （对地、且 ）做匀速运动。司机立即以加速度 紧急刹车．要使两车不相撞，应满足什么条件？分析：两辆火车恰好不相撞的条件是：后车追上前车瞬间两者速度刚好相等。（务必注意不是后车追上前车瞬间后车速度为零，这一点可通过分析最后一段时间内的位移大小关系搞清。） 解：两车恰好不相撞的临界条件是：后车追上前车瞬间两者速度刚好相等。  如图有  即 又  解得： 所以要使两车不相撞，应满足  说明：在正确画示意图的基础上发现两物体位移之间的关系是解决此类问题的关键。此外，还要注意一些特殊情况，例如，匀加速追匀速时，可能在追上前后者已经达到最大速度；匀速（或匀加速）追赶匀减速时，可能在追上前前者已经停止运动等。 例：汽车A在红绿灯前停下，绿灯亮时A车开动，以  的加速度做匀加速直线运动，经 后以该时刻的速度做匀速直线运动，在绿灯亮的同时，汽车B以 的速度从A车旁边驶过，之后B车一直以相等的速度做匀速运动，问：从绿灯亮时开始，经多长时间后两车再次相遇？解：在绿灯亮后的30s内 A车发生的位移为：  B车发生的位移为：  因  ，可知A必须再匀速运动一段时间才能追上B。设共需t时间汽车A才能追上汽车B 两者位移关系为   如图，即  其中  解得：  说明：通过简单的运算先明确A车的实际运动情况，而借助图像分析可以避免复杂的运算。 （二）若两个物体不在同一直线上运动，则应利用两者运动时间的关系列方程，这也是求解两类相遇问题的最大区别。 例：在某铁路与公路交叉的道口外安装的自动栏木装置如图所示，当高速列车到达A点时，道口公路上应显示红灯，警告未越过停车线的汽车迅速制动，而超过停车线的汽车能在列车到达道口前安全通过道口。已知高速列车的速度V1=120km/h，汽车过道口的速度V2=5km/h，汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是S0＝5m，道口宽度s＝26m，汽车长l=15m。若栏木关闭时间tl＝16s，为保障安全需多加时间t2=20s。问：列车从A点到道口的距离L应为多少才能确保行车安全？  分析：此题涉及直线运动知识在实际问题中应用，与相遇问题有关，明确各个过程时间之间的关系是本题的关键。 解：由题意可知，从列车到达A点到列车抵达道口，共经历三个阶段，超过停车线的汽车安全通过道口阶段、栏木关闭阶段、保障安全额外增加的时间阶段。所以A点离道口的距离应为：  其中    所以  说明：不同一直线上运动的物体发生相遇，这类问题相对比较简单，只要能正确找出物体运动时间之间的关系，一般就能顺利解决。 变式练习： 1．从静止开始以加速度a=10m/s2做匀加速直线运动的物体，在哪一秒内的位移是第一秒内位移的3倍？ 2．一根链条自由下垂悬挂在墙上，放开后让链条作自由落体运动。已知链条通过悬点下3．2m处的一点历时0．5s，问链条的长度为多少？ 3．跳伞运动员做低空跳伞表演，当直升飞机悬停在离地面  高时，运动员离开飞机作自由落体运动。运动一段时间后，打开降落伞，展伞后运动员以 的加速度匀减速下降。为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过 。求：（1）运动员展伞时，离地面的高度至少为多少？着地时相当于从多高处自由落下？ （2）运动员在空中的最短时间为多少？（取  ）4．有一架电梯，启动时匀加速上升，加速度为 ，制动时匀减速上升，加速度为 ，楼高 ．问：（1）若上升的最大速度为 ，电梯升到楼顶的最短时间是多少？（2）如果电梯先加速上升，再匀速上升，最后减速上升，全程共用时间为 ，上升的最大速度是多少？5．摩托车以速度 沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方离摩托车处，有一辆汽车正以的速度开始减速，且 ，汽车的加速度大小为 。为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，问其加速度 至少需要多大？变式练习答案： 1．第2s内 2．2．75m 3．（1）280m，0．8m；（2）20．5s 4．（1）  ；（2）5． 
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