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谈椭圆扁平的判定 广东省中山一中高中部 许少华 我们知道，椭圆的离心率  满足 ，当越接近于1时， 就越接近于 ，从而 就越小，此时，椭圆就越扁；当越接近于0时，就越接近 ，从而就越近于，此时，椭圆就越接近于圆；下面 我们来探究三个问题：探究一：能否借助  与 来刻画椭圆的扁平程度？首先，我们来看能否用 来刻画椭圆的扁平程度，由于越接近，椭圆就越“圆”，相差越大，椭圆就越“扁”，因此，可以用 来刻画椭圆的扁平程度。当越接近于1时，椭圆就越“圆”，当越小时，椭圆就越“扁”。再看能否用 来刻画椭圆的扁平程度，结合 可以看出：越接近，就越接近， 也越接近，此时，椭圆就越“圆”； 越接近， 就越接近，无限大，此时，椭圆就越“扁”。显然，既可以用 来刻画椭圆的扁平程度，也可以用来刻画椭圆的扁平程度。探究二：为什么选用 来刻画椭圆的扁平程度？第一，椭圆的“圆”的程度用 容易刻画，即越接近时，椭圆就越“圆”；但在表示“扁”时，用很不明确，“无限大，此时，椭圆就越“扁””，大的程度无法把握。第二，对于椭圆，  的范围是 ，的范围也是；且两者都可以较好的刻画椭圆的扁平程度，表面上看它们具有等同的位置。将这两个量再放入圆锥曲线之中，就可以发现选用是应该的。因为，在以后将要学习的双曲线、抛物线中，正好填补了 与 的两种情况。考虑到整体内容，选用了。探究三： 将会有哪些变化？ 例1、设椭圆的两个焦点分别为  ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）（A）  （B） （C） （D） 解析：设椭圆方程为  ，由 即 ，选D；评析：本题重在产生关于  的关系式，将关系式转化为关于离心率的方程通过方程产生结论。例2、椭圆  和圆 有四个交点，其中为椭圆的半焦距，则椭圆离心率的范围为（ ）（A）  （B） （C） （D） 解析：此题的本质是椭圆的两个顶点  与 一个在圆外、一个在圆内即： 评析：建立在条件的基础上，产生关于 的不等关系式，再将其转化为关于离心率的不等式是关键。例3、已知c是椭圆  (a＞b＞0)的半焦距，则 的取值范围是 （ ）（A）(1，＋∞) （B）（  ，＋∞) （C）(1，) （D）(1,] 解析：由  ，又 于是得答案（D）； 评析：如何求 的取值范围，结合离心率及关系式，将待求式子转化为关于的函数关系，借助函数的定义域（即的范围）产生函数的值域。例4、已知椭圆 （ ， ）左、右焦点为、 ，左准线 ， 是椭圆上的一点，并且有 是点到的距离 与 的等比中项，求该椭圆离心率的最大值.解析一 设点 的坐标为 ，其中 .由椭圆的第二定义可知： ，又由已知可得：  ，则有： .代入得：   考虑椭圆离心率  ，解得： .因此，该椭圆离心率e的最小值为 ；解析二 由  ，又由得 ，因此 ， ，又由 ，则：  因此，该椭圆离心率e的最小值为；评析：离心率的最值也是我们经常遇到的问题，在最值的求解过程中，抓问题的转折点很关键，解一中“ ”、解二中“”都是关键点，没有这两点两种方法都无法产生结论。好了，经过这一番的探究，你有收获吗？ (责任编辑：admin) |