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错解剖析得真知（三） §2.2函数的性质 一、知识导学 1.函数的单调性： （1）增函数：一般地，设函数  的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数 的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间. 2.函数的奇偶性： （1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. （2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. （3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性. 3.函数的图象：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图象. 二、疑难知识导析 1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制. 2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求. 3. 用列表描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图象的特点，如二次函数图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的. 三、经典例题导讲 [例1]判断函数  的单调性.错解：  是减函数错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为  ，从而可判断出其单调性.正解： 令  ，则该函数在R上是减函数，又 在R上是减函数，∴ 是增函数[例2]判断函数  的奇偶性.错解：∵ ＝ ∴  ∴ 是偶函数错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 正解： 有意义时必须满足 即函数的定义域是｛  ｜ ｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数[例3] 判断  的奇偶性.错解：∵  ∴  且 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立. 正解：方法一：∵ ＝  ＝ ＝－ ∴ 是奇函数方法二：∵  ＝   ∴是奇函数[例4]函数y=  的单调增区间是_________.错解：因为函数  的对称轴是 ，图象是抛物线，开口向下，由图可知在 上是增函数，所以y=的增区间是错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误. 正解：y= 的定义域是 ，又在区间 上增函数，在区间 是减函数，所以y=的增区间是[例5] 已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围. 错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)= f (3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数， ∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0 解得x>2或x<－3 又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数， 所以2＜x＜3 错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域. 正解：由  ,故0<x< ,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数， ∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x< ,即A={x|2<x<},[例6] 作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)  .分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.  解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时， 当x＜2时，即x-2＜0时，所以  这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图)  (2)当x≥1时，lgx≥0，y  =10lgx=x；当0＜x＜1时，lgx＜0，  所以  这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)  点评：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象. [例7]若f(x)=  在区间（－2，＋ ）上是增函数，求a的取值范围解：设   由f(x)= 在区间（－2，＋）上是增函数得  ∴a＞ 点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. [例8] 已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(  )=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f( ),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减 解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f( ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f( )=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)＋f(－x1)=f(  )∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴  >0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<  <1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. 点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定 的范围是解题的焦点.四、典型习题导练 1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )  2. （05年高考重庆卷） 若函数 是定义在R上的偶函数，在  上是减函数，且 ，则使得 的取值范围是 （ ）A.  B.  C.  D.（－2，2）3. （05年高考江西卷）若函数  是奇函数，则a= .4. （05年高考辽宁卷）已知 是定义在R上的单调函数，实数 ，  ，若 ，则（ ）A.  B. C. D. .5.已知 是定义在R上的奇函数，且当 时，＝ ，求.6. 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－ )=0,当x>－ 时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数； (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 7.已知函数y=f(x)=  (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)< .(1)试求函数f(x)的解析式； (2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. (责任编辑：admin) |