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错解剖析得真知（五） §2.4 函数与方程 一、知识导学 1.函数的零点与方程的根的关系： 一般地，对于函数  （ ）我们称方程 的实数根 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数 的零点.2.函数的图象与方程的根的关系： 一般地，函数 （）的图象与轴交点的横坐标就是的根.综合方程f(x)=g(x)的根，就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图象的交点或交点个数，或求方程的图象与轴交点的横坐标.3.判断一个函数是否有零点的方法： 如果函数 在区间[a,b]上图象是连续不断的曲线，并且有 ，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数 使得 ，这个c也就是方程的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助图象判断解的个数，或者把 写成 ，然后借助 、 的图象的交点去判断函数的零点情况.4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图象之间的关系： 二次函数  的零点，就是二次方程 的根，也是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.5. 二分法： 对于区间[a,b]上的连续不断，且 的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二、疑难知识导析 1.关于函数 的零点，就是方程 的实数根，也就是与函数图象的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数  ，在闭区间[m,n]上满足 ，那么方程在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的 ，使 ，方程另一解 .3. 二次方程 的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程＝的根都在区间 时应满足：  4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 （1）取一个区间（  ）使（2）取区间的中点，  （3）计算  ，①若 ，则 就是的解，计算终止；②若 ，则解位于区间（ ）中，令 ；若 则解位于区间（ ）令 （4）取区间是（  ）的中点， 重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解总位于区间（ ）内（5）当 精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.三、经典例题导讲 [例1]已知函数  若 时，≥0恒成立，求 的取值范围.错解：（一）  恒成立，∴△＝ ≤0恒成立解得  的取值范围为 错解：（二）∵ 若时，≥0恒成立∴  即 解得 的取值范围为 错因：对二次函数 ＝ 当 上≥0恒成立时，△≤0片面理解为， ≥0，恒成立时，△≤0 ；或者理解为这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论. 正解：设 的最小值为 （1）当  即 ＞4时，＝ ＝7－3≥0，得 故此时 不存在；(2) 当  即－4≤≤4时，＝3－ － ≥0，得－6≤≤2又－4≤ ≤4，故－4≤≤2；（3）  即＜－4时，＝ ＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4故－7≤ ＜－4综上，得－7≤ ≤2[例2]已知  有且只有一根在区间（0,1）内，求 的取值范围.错解：设  ∵有且只有一根在区间（0,1）内∴  得＜－2错因：对于一般 ，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程 ＝0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能 .如二次函数图象是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知＝0在区间（a,b）上有且只有一根，但是 正解：设 ，（1）当＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当 ≠0∵有且只有一根在区间（0,1）内又  ＝1＞0 ∴有两种可能情形①  得＜－2，或者② 得不存在。综上所得， ＜－2。[例3]已知一次函数  与二次函数 图象如图，其中的交点与轴、 轴的交点分别为A（2，0），B（0，2）；与二次函数的交点为P、Q，P、Q两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程： 。 （1）错解：把 A（2，0），B（0，2）两点坐标分别代入一次函数 解得 ∴一次函数为  设P（ 1，1），Q（，2），则1︰2＝1︰4∴  ︰ ＝1︰4 ∴1︰2＝1︰2或1︰2＝（－1）︰2当 1︰2＝1︰2时，Q点坐标为（21，41），把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得  解得 ∴P（3，－1），Q（6，－4），抛物线方程为  当 1︰2＝（－1）︰2时， Q点坐标为（－21，41）把P、Q两点坐标分别代入直线方程即得  解得 ∴P（1， 1），Q（－2， 4），抛物线方程为  错因：在得到 1︰2值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去，题中Q在第二象限，所以不合条件.正解：（1）抛物线方程为 （2）方法一：由（1）得方程 即为  解得 1＝－2，2＝1.方法二：方程 的根即为二次函数与一次函数的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P（1， 1），Q（－2， 4）， ∴方程 的解为1＝－2，2＝1.[例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程 2+（2k－3）－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.错解：令  那么由条件得到 即此不等式无解即不存在满足条件的k值. 错因：方程两根都在0与2之间，根据图象，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内. 正解：令 那么由条件得到 即 即此不等式无解即不存在满足条件的k值. [例5]已知二次函数  对于1、2 R，且1＜2时 ，求证：方程＝ 有不等实根，且必有一根属于区间（1，2）.解：设F（ ）＝－， 则方程 ＝ ①与方程 F（ ）＝0 ② 等价∵F（ 1）＝ －＝ F（ 2）＝ －＝ ∴ F（ 1）·F（2）＝－ ，又∴F（ 1）·F（2）＜0故方程②必有一根在区间（ 1，2）内.由于抛物线y＝F（）在轴上、下方均有分布，所以此抛物线与轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（1，2）.点评：本题由于方程是 ＝，其中因为有表达式，所以解题中有的学生不理解函数图象与方程的根的联系，误认为证明的图象与轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（）＝－的图象与轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.[例6]试确定方程  最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.分析：只要构造函数 ＝ ，计算的自变量取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布.解：令 ＝∵  ＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 ＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 ＝－2－1＋4＋2＝3＞0＝0－0－0＋2＝2＞0 ＝2－1－4＋2＝－1＜0＝16－4－8＋2＝6＞0根据 ·＜0，·＜0，·＜0可知 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内. 点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.  所以 ＝0有三个根： [例7]设二次函数  方程 的两个根 ，满足0   .（1）当  时，证明 ；（2）设函数 的图象关于直线 对称，证明： .分析：（1）用作差比较法证明不等式 ；（2）函数 图象关于直线对称，实际直线就是二次函数的对称轴，即 ，然后用已知条件证明不等式即可.证明：（1）依题意，设  当 时，由于，∴ ，又 ∴ >0即  ∵0  .∴ ∴  综合得 （2）依题意知 ，又 ∴  ∵  ∴ 点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图象关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即 [例8] 已知函数  ，且方程 有实根.(1)求证：-3<c≤-1,b≥0. (2)若m是方程 的一个实根，判断 的正负并加以证明分析：（1）题中条件涉及不等关系的有  和方程有实根.及一个等式  ，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断 的符号，因而只要研究出 值的范围即可定出符号.(1)证明：由 ，得1+2b+c=0,解得 ，又，1  解得  ，又由于方程 有实根，即 有实根，故  即 解得 或 ∴  ，由，得 ≥0.（2）  = ∵  ，∴c<m<1（如图） ∴c—4<m—4<—3<c. ∴ 的符号为正.点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图象及性质解题. 四、典型习题导练 1. 方程  的实根的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3. 2.已知抛物线  与轴的两个交点在（1,0）两旁，则关于的方程 的根的情况是（ ）ａ.有两个正数根 B.有两个负数根 C.有一个正数根和一个负数根 D.无实数根 3.若关于 的方程 在（0,1）内恰有一解，则的取值范围为（ ）A. ＜－1 B. ＞1 C. －1＜＜1 D.0＜＜14.已知函数  的图象如图所示，则b的取值范围是（ ） A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞) 5.已知函数  对一切实数都有 成立，且方程=0恰有6个不同的实根，则这6个根的和是 .6. 已知在二次函数的解析式 中，＝－3，＝－8，且它的两个零点间的距离等于2，求这个二次函数的解析式.7. （06年高考浙江卷）设f(x)=3ax  ,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(1)a＞0且-2＜  ＜-1；(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)若a>b>c且f(1)=0，证明：f(x)的图象与X轴相交； (2)证明：若对x1、x2  ，且f(x1) f(x2),则方程 必有一实根在区间（x1,x2）内；(3)在（1）的条件下，是否存在实数m，使f(m) = －a成立时,f(m+3)>0. (责任编辑：admin) |