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错解剖析得真知（八） 3.2三角函数基本关系式与诱导公式 一、知识导学 1．同角三角函数的基本关系式 平方关系：  ；商数关系： ；倒数关系： 同角三角函数的基本关系式可用图表示 （1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方； （2）对角为倒数关系； （3）每个三角函数为相邻两函数的积. 2．诱导公式(  )
诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型 （1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数； （2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析 1．三角变换的常见技巧 “1”的代换；  ， ， 三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式）；2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角； 3．已知角  的某个三角函数值，求角的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.三、典型例题导讲 [例1]已知  __________错解：两边同时平方，由  得 ∴  解得： 或  解得： 错因：没有注意到条件  时，由于 所以  的值为正而导致错误.正解：  两边同时平方，有  求出  ∴[例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值 错解：由  得tan A= tan B错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示 正解：由 ①2+②2得a2sin2B+b2cos2B=1∴cos2B=  ∴sin2B= ∴tan 2B= ∵B为锐角 ∴tan B=   得tan A=tan B= [例3]（05年高考重庆卷）若函数  的最大值为2，试确定常数a的值. 点评：本试题将三角函数“  ”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.[例4] （05年高考北京卷）已知  =2，求 （1）  的值； （2） 的值．解：（1）∵ tan  =2, ∴  ;所以  = ；（2）由(I), tanα=－  , 所以= = .点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. [例5]化简：  错解：原式     错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误. 正解：原式 （1）当  ，时原式  +    =0（2）当  ，时原式  +  + =0[例6]（05年高考江苏卷）若  ，则 =（ ）A．  B． C． D． 错解： = = =1—2 =错因：诱导公式应用符号错. 正解： ==— =—1+2=—.故选A.[例7]．（05年高考福建卷）已知  .（1）求sinx－cosx的值； （2）求  的值.解法一：（1）由  即  又  故  （2）  
 由①得  将其代入②，整理得  故 （2）    点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力. [例8] (1)化简： ＋  +cos2αcsc2α(2)设sin(α+)=－,且sin2α＞0 求sinα,tanα 解：原式=＋ +cos2αcsc2α =cos2α+sin2α+cos2αcsc2α =1+cot2α =csc2α (2)解：由sin(α+ )=- ∴cosα=- ∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+π kπ＜α<kπ+ (k∈z) ∴α为第一象限或第二象限的角 ∵cosα=- ＜0 ∴α为第三角限角 sinα=-＝ tan α= = 点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨. [例9] 求函数  的定义域.解：由题意有  当  时， ；当  时， ；当  时，  函数的定义域是 点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数. [例10] （05年高考天津卷） 已知  .解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得  即  ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得  故 ②由①式和②式得  .因此， ，由两角和的正切公式 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得  解得 由  由于  ，故  在第二象限，于是 .从而  （以下同解法一）.点评： ，，三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式），在求值过程中要注意符号的讨论.四、典型习题导练 1． 当0＜x＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( ) A.  B. C. D. 2．（05年高考全国卷Ⅰ）在  中，已知 ，给出以下四个论断： ①  ②  ③  ④  其中正确的是 A．①③ B.②④ C.①④ D.②③ 3．（05年全国卷Ⅲ）设  ,且 ,则 A.  B.  C.  D.  4．函数  A. 增函数 B. 减函数 C. 偶函数 D. 奇函数 5．曲线  和直线 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（ ） A．  B．2 C．3 D．46．  7．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x． (1) 求f(  )的值； (2) 设∈(0，)，f()＝ ，求sin的值．8．（05年高考湖南卷）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0， sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小. 9．（06年高考安徽卷）已知  （1）求  的值；（2）求  的值.(责任编辑：admin) |
