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构造法巧解定点定值问题 湖北省阳新县高级中学 邹生书 本文笔者向大家介绍一种行之有效的特殊方法──构造关于“  ”的二次方程解题。即若直线  与曲线 相交于不同两点 ，则 两点的坐标满足关于 的齐次方程： 。两边除以  便可构造出关于的二次方程， 、 是这个关于的方程的两个根，当问题涉及或可转化为 或 时，我们便可利用根与系数的关系解题。本文笔者将运用这一方法来解决圆锥曲线与周直角、等腰三角形相关的定点定值问题。性质1 已知点  是抛物线 上的一个定点， 、 是抛物线上的两个动点。（1） 若  ，则直线 过定点 ；（2）若直线  、 与 轴围成以点 为顶点的等腰三角形，则直线的斜率为定值 。证明 将抛物线  按向量 平移得抛物线 ，即  。又点在抛物线 上，故 ，代入上式得 ①。抛物线 上的定点和动点、分别对应抛物线 上的定点 和动点 、 ，设直线 的方程为 ，代入①得， 。当 时，两边除以得， 。因为点 的坐标满足这个方程，所以 是这个关于的方程的两个根。（1）若 ，因为平移前后垂直关系不变，所以 ，即 ，整理得 。由此知点 在直线上，即直线过定点，从而直线过定点。（2）依题意知直线  的倾斜角互补且斜率存在，由平移性质知直线 的倾斜角也互补且斜率存在，所以 ，即 ，于是 。因为  ，所以 ，故直线的斜率为定值。性质2 已知点 是椭圆 上的一个定点， 是椭圆上的两个动点。（1）若 ，则直线AB过定点 ；（2）若直线 与轴围成以点为顶点的等腰三角形，则直线的斜率为定值 。证明 将椭圆 按向量平移得椭圆 ，即  。又点在椭圆 上，所以 ，代入上式得 ①。椭圆 上的定点和动点分别对应椭圆上的定点和动点，设直线的方程为，代入①得 。当时，两边除以得， 。因为点的坐标满足这个方程，所以 是这个关于的方程的两个根。（1）若 ，由平移性质知，所以 ，即  ，所以 。由此知点 在直线上，即直线过定点，从而直线AB过定点 即过定点。（2）依题意知直线 、的倾斜角互补且斜率存在，由平移性质知，直线的倾斜角也互补且斜率存在，所以，即 ，由此得 。又，所以 ，故直线AB的斜率为定值。同理可证双曲线有如下： 性质3 已知点 是双曲线 上的一个定点，、是双曲线上的两个动点。（1）若 ，则直线AB过定点 ；（2）若直线 与轴围成以点为顶点的等腰三角形，则直线的斜率为定值 。综合归纳以上性质可得圆锥曲线有如下一般性结论： 性质4 已知点 是圆锥曲线上的一个定点，是曲线上的两个动点。（1）若 ，则直线过定点；（2）若直线 与焦点所在的轴 成等角，则直线与的夹角为定值。(责任编辑：admin) |