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等差数列与等比数列 基础知识 1．数列的概念 定义1. 按照某一法则，给定了第1个数  ，第2个数 ，………，对于正整数 有一个确定的数 ，于是得到一列有次序的数 我们称它为数列，用符号 表示。数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。 定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即  ，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即 ，这样的数列称为递减数列。定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即  ，其中 是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。定义5.如果在数列 中，项数与具有如下的函数关系： ，则称这个关系为数列的通项公式。2．等差数列 定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母  表示。等差数列具有以下几种性质： （1）等差数列的通项公式：  或 ；（2）等差数列的前 项和公式： 或 ；（3）公差非零的等差数列的通项公式为 的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前 项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设 是等差数列，则 （ 是常数）是公差为 的等差数列；（6）设 ， 是等差数列，则 （ 是常数）也是等差数列；（7）设 ，是等差数列，且 ，则 也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若  ，则 ；特别地，当 时， ；（9）设   ，  ，  ，则有 ；（10）对于项数为  的等差数列，记 分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则 ， ；（11）对于项数为  的等差数列，有 ， ；（12）  是等差数列的前项和，则 ；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列 ，公差为 ，前项和为，则①．  为等差数列，公差为 ；②．   （即 ）为等差数列，公差 ；③．  （即 ）为等差数列，公差为 . 3．等比数列 定义7.一般地，如果有一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母  表示（ ），即。 等比数列具有以下性质： （1）等比数列的通项公式：  或 ；（2）等比数列的前 项和公式： ；（3）等比中项：  ；（4）无穷递缩等比数列各项公式：对于等比数列   的前项和，当无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项的和，记为 ，即  ；（5）设 是等比数列，则 （ 是常数）， 仍成等比数列；（6）设 ，是等比数列，则 也是等比数列；（7）设 是等比数列，是等差数列，且 则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；（8）设 是正项等比数列，则  是等差数列；（9）若 ，则 ；特别地，当时， ；（10）设 ，，，则有 ；（11）其他衍生等比数列：若已知等比数列 ，公比为，前项和为，则①． 为等比数列，公比为 ；②． （即）为等比数列，公比为 ；典例分析 例1．设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于3，且各项之和为972，则这样的数列有_____________个。 解：设等差数列的首项为  ，公差为。由已知有 ，即 。又因为 ，所以只可能取 ，又因为 且 均为整数，故 ；若  ，由于为正数，则 ，即 ，故 ，这时有 或 ；若  ，则 ，这时有 或 。例2．设  ，A是S的三元子集，满足：A中元素可以组成等差数列，那么这样的三元子集有___________个。解：若  成等差数列，则 ，从而首未两项奇偶相同，且首未两项一旦确定，那么等差数列也就随之确定了。但是值得注意的是，虽然成等差数列时， 也成等差数列，但它们所对应的是同一个集合A={}。将S按数的奇偶性分成  与 两个子集。从  中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有 种不同的取法；从  中取出两个数作为等差数列的首未两项，共有 种不同的取法；所以共有 +种不同的取法。例3．设  ，A为至少含有两项且公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看作是等差数列）（1991年全国高中数学联赛二试第一题）分析：可先对特殊的n（如n=1,2,3）通过列举法求出A的个数，然后总结规律，找出 的递推关系，从而解决问题；也可以就A的公差 时，讨论A的个数。解法一：设 元素集中满足条件的A有个，则 ， ，……如此下去，可以发现 。事实上， 比 的A增加的公差为 的1个，公差为 的1个，……，公差为 为偶数)或 为奇数）的增加1个，共增加 个。由 的递推公式可得 个。解法二：设A的公差为 ，则 ，分为两种情况讨论：（1）当 为偶数时，则当 时，公差为的A有个，当 时，公差为d的A有 个，故当n为偶数时，这种A共有 个；（2）当 为奇数时，则当 时，公差为的A有个，当 时，公差为d的A有个，故当n为奇数时，这种A共有 个；综合（1）（2）得，所求的A共有  个。例4．将数列  依次按每一项，两项，三项，四项循环分成（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27）,（29，31，33），（35，37，39，41），（43）……，则第100个括号内的各数之和是__________________。解：每循环一次记为一组，则第100个括号是第25组的第4个括号。而每组中第四个括号内的各数之和构成以72为首项，以80为公差的等差数列，故  为所求。例5．设数列 是等差数列，是等比数列，且 ， ， （ ），又 ，试求数列的首项与公差。（2000年全国高中数学联赛一试第13题）分析；题中两个基本量 中的首项和公差是所需求的。利用 ， ， 成等比数列和给定的极限可列出两个方程，但需注意极限存在的条件。解：设所求的首项为 ，公差为。因为，故 ；又因为成等比数列，故 ，即 ，即 ，化简得： ，解得 ，而 ，故 ；若  ，则 ；若 ，则 ；但是 存在，可知 ，于是 不合题意，从而只有 。于是由 解得  ，所以 ， 故数列 的首项与公差分别为 和 。例6．若复数列 的通项公式为 （1）将数列 的各项与复平面上的点对应，问从第几项起，以后所有的各项对应的点都落在圆 的内部；（2）将数列 中的实数项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项及所有项的和。解：（1）设数列 的各项在复平面上对应的点的坐标为 ，则 ， 。要使点  落在圆 的内部，只需   ，得 即  ，故从第6项起，以后每一项都落在圆 的内部。（2）要使数列 中的项为实数，则 ，得 ，因此数列 的通项公式为  ，所以  ，且 故数列 是首项为1，公比为 的无穷递缩数列，从而数列的所有项的和为： 。例7．已知整数 ， 是1，2，3，……，n的一个排列，求证： 不可能构成一个等差数列，也不可能构成一个等比数列。（2006年山东省第二届夏令营试题）证明：若 构成一个等差数列，设其公差为，则 ， ，所以 。而  ，因为 ，所以 所以  。于是当  时，则 ，于是 所以  ，矛盾！当  时，则 ， 又因为 所以 ，从而。所以  ，所以 ，从而 ，矛盾！从而 不可能构成一个等差数列。下证 不可能构成一个等比数列。若 构成了一个等比数列，考虑最后三项。有  ，所以  。而（  ， ，所以 ；当  时，显然   ；当  时，显然  ；当  时，有 ，知 ，所以 即 ，所以 或4；当 时， 只能为1，6，6或2，6，3，但这两个都不是等比数列；当  时， ，所以 故 ；又因为 ，所以 矛盾！所以 也不可能构成一个等比数列。例8．正整数序列 按以下方式构成： 为某个正数，如果能被5整除，则 ；如果不能被5整除，，则 。证明：数列{}自某一项起，以后各项都不是5的倍数。（2006年山东省第二届夏令营试题）证明：首先证明 中一定在存在相邻的两项，它们都不是5的倍数。（反证）若不然，数列 中任意的两项都是5的倍数。若  ，则 ；若5  ，则 ，从而  ；所以  矛盾！（因为某个正数，不可能大于无穷多个正整数）从而 中一定在相在相邻的两项，它们都不是5的倍数。设  都不是5的倍数，则 ，其中 ，有  因为  ，所以 ，所以 只能取 ，即 只能取，这说明 不是5的倍数。即从 起以后每一项都不是5的倍数。例9．将与105互质的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第三1000项。 解：设  ， ， ， 则  ； ； ； ； ； ； ，所以 。在1到105之间与105互质的数有   [    ]+[ + + ]－  =105－（35+21+15）+（7+3+5）－1=48设将与105互质的数从小到大排列起来为数列 ，则   ， ， ，  这是一个以48为周期的周数列，因为  所以  ；而由于 ， ， ， ， ， ， ， ， ；所以 = 。例10．数列 的定义如下： ，且当 时，有  现已知  ，求正整数.（2006年山东省第二届夏令营试题）解：由题设条件知  ，并由 得当n为偶数时， ，当n为奇数时， ；由于  ，知n为偶数；所以  知 为奇数；所以 知 为偶数； 知 为奇数；  知 为偶数； 知 为奇数；  知 为偶数； 知 为偶数； 知 为奇数；  知 为偶数； 知 为奇数；  知 为偶数； 所以  ，所以 。(责任编辑：admin) |