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用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者有哪些明显的区别？ （1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对（ρ，θ）只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对（ρ，θ）对应。例如（ρ，2nπ＋θ）与（－ρ，(2n＋1)π＋θ）（n为整数）表示的是同一个点，所以点对有序实数对即坐标（ρ，θ）不是一一对应的。 （2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）。可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应。例如方程ρ＝1，ρ2＝1，ρ3＝1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的。 （3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程。例如给定曲线ρ＝θ，设点P的一对极坐标为  ，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标 就不适合方程ρ＝θ了。所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标（ρ，θ）适合曲线C的方程。（4）同一类型的方程在不同的极坐标系内表示的曲线可以有很大的不同。例如方程y＝kx和方程ρ＝aθ都是反映了两个变量之间有正比例关系，而前者在直角坐标系内表示直线，后者在极坐标系内表示螺线。 指出这几点区别，是希望同学们不要把对直角坐标系内点和曲线的认识套用到极坐标系内，并且对于极坐标能注意扬长避短，只需按照教科书的要求，利用极坐标的优点认识一些常用曲线就行了。 (责任编辑：admin) |